广东省揭阳市普宁国贤学校2022-2023学年高三下学期开学第2次考试数学试卷

2022-2023学年第一学期期末考试 高三数学试卷（第2次连考） 一、单选题 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 3．已知曲线的方程为（），若曲线是焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或5 D． 4．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第5关收税金为剩余金的，5关所收税金之和恰好重1斤．问原来持金多少？”．记这个人原来持金为斤，设，则（    ） A． B．7 C．13 D．26 5．如图，所有棱长都等于的三棱柱的所有顶点都在球上，球的体积为（    ） A． B． C． D． 6．给出以下四个命题： ①在回归分析中，可用相关指数的值判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好； ②回归模型中离差是实际值与估计值的差，离差点所在的带状区域宽度越窄，说明模型拟合精度越高； ③在一组样本数据（，不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为； ④对分类变量与的统计量来说，值越小，判断“与有关系”的把握程度越大. 其中，真命题的个数为（    ） A． B． C． D． 7．现有5张卡片，其中有2张印有“立”字，其余3张分别印有“德”、“树”、“人”．将这5张卡片随机排成一行，则恰有连续4张卡片从左往右依次为“立”、“德”、“树”、“人”的概率为（    ） A． B． C． D． 8．已知圆锥的底面圆半径为，圆锥内部放有半径为1的球，球与圆锥的侧面和底面都相切，若，则圆锥体积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列推理正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若a，，则 10．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足条件，，，则下列选项正确的是（    ） A．为递减数列 B． C．是数列中的最大项 D． 11．如图，、是双曲线与椭圆的公共焦点，点A是、在第一象限的公共点，设的方程为，则下列命题中正确的是（    ） A． B．的内切圆与轴相切于点 C．若，则的离心率为 D．若，则椭圆方程为 12．定义在上的函数满足：，，则下列说法正确的是（    ）． A．在处取得极小值，极小值为 B．只有一个零点 C．若在上恒成立，则 D． 三、填空题 13．已知平面向量满足，则__________． 14．直线与圆相交于两点，且．若，则直线的斜率为_________． 15．在中， 内角的对边分别为，且满足，则的取值范围____________ 16．若存在直线与曲线，都相切，则的范围是__________. 四、解答题 17．记的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，. (1)求A； (2)若AD是角A的平分线且，求的最小值. 18．已知正项数列满足，. (1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求. 19．如图，在三棱柱中，四边形是菱形，，平面平面.(1)证明：； (2)已知，，平面与平面的交线为.在上是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为?若存在，求线段的长度；若不存在，试说明理由. 20．某市工业部门计划对所辖中小型企业推行节能降耗技术改造，下面是对所辖的400家企业是否支持技术改造进行的问卷调查的结果： 支持 不支持 合计 中型企业 60 20 80 小型企业 180 140 320 合计 240 160 400 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为“支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关； (2)从上述支持技术改造的中小型企业中，按分层随机抽样的方法抽出12家企业，然后从这12家企业中随机选出9家进行奖励，中型企业每家奖励60万元，小型企业每家奖励20万元．设为所发奖励的总金额（单位：万元），求的分布列和均值． 附：，． 21．已知椭圆的一个顶点为，离心率为．过椭圆右焦点且斜率为的直线与椭圆相交于两点，，与轴交于点，线段的中点为，直线过点且垂直于（其中为原点）． (1)求椭圆的标准方程并求弦的长； (2)证明直线过定点． 22．已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)若不等式恒成立，求实数k的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页