上海市南洋模范中学2021-2022学年高二上学期期末考试数学试卷

上海市南洋模范中学2021-2022学年高二上期末 数学试卷 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1.甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生．为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个样本容量为90人的样本，则应在甲校抽取的学生数是　　． 2.现有高一学生9人，高二学生12人，高三学生7人，自发组织参加数学课外活动小组，从中推选两名来自不同年级的学生做一次活动的主持人，则不同的选法有　　种. 3.若，则　　． 4.如图所示，绕直角边所在直线旋转一周形成一个圆锥，已知在空间直角坐标系中，点和点均在圆锥的母线上，则圆锥的体积为　　． 5.已知直线的方向向量为，点在上，则点到的距离为　　． 6.图1中的机械设备叫做“转子发动机”，其核心零部件之一的转子形状是“曲侧面三棱柱”，图2是一个曲侧面三棱柱，它的侧棱垂直于底面，底面是“莱洛三角形”，莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，如图3．若曲侧面三棱柱的高为5，底面任意两顶点之间的距离为20，则其侧面积为　　． 7.两人下棋，每局两人获胜的可能性一样.某一天两人要进行一场三局两胜的比赛，最终胜利者赢得100元奖金.第一局比赛胜，后因为有其他要事而中止比赛，则将100元奖金公平分给两人，则应该得到的奖金数为　　元. 8.复印纸幅面规格只采用系列和系列，其中系列的幅面规格为：①所有规格的纸张的幅宽（以表示）和长度（以表示）的比例关系都为；②将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格；纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格；；如此对开至规格．现有纸各一张．若纸的幅宽为，则这9张纸的面积之和等于　　． 9.已知球的半径为1，、是球面上的两点，且，若点是球面上任意一点，则的取值范围是　　． 10.如图，现将一张正方形纸片进行如下操作：第一步，将纸片以为顶点，任意向上翻折，折痕与交于点，然后复原，记；第二步，将纸片以为顶点向下翻折，使与重合，得到折痕，然后复原，记；第三步，将纸片以为顶点向上翻折，使与重合，得到折痕，然后复原，记；按此折法从第二步起重复以上步骤，得到，则　　． 11.如图，是棱长为的正方体的一个顶点，过从此顶点出发的三条棱的中点作截面，对正方体的所有顶点都如此操作，所得的各截面与正方体各面共同围成一个多面体，则关于此多面体有以下结论：①有12个顶点；②有24条棱；③有12个面；④表面积为；⑤体积为．其中正确的结论是　　．（要求填上所有正确结论的序号） 12.设数列的前项和为，，， ，且、均为等差数列，则　　． 二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分） 13.若两条异面直线，外的任意一点，则　　 A．过点有且仅有一条直线与都平行 B．过点有且仅有一条直线与都垂直 C．过点有且仅有一条直线与都相交 D．过点有且仅有一条直线与都异面 14.已知数列满足，那么　　 A．是等差数列 B．是等差数列 C．是等差数列 D．是等差数列 15.空间直角坐标系中，经过点且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为　　 A． B． C． D． 16.上海体育场（Shanghai Stadium），又称“上海八万人体育场”.上海体育场正在进行改建，改建后的上海体育场将成为全国建设标准最高的体育场之一.改建中显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为，故其总曲率为．给出下列三个结论： ①正方体各顶点的曲率为； ②任意三棱锥的总曲率均为； ③将棱长为3的正方体正中心去掉一个棱长为1的正方体所形成的几何体的总曲率为． 其中，所有正确结论的序号是　　 A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 三、解答题（本大题共5题，满分76分） 17.如图，在直三棱柱中，． （1）若，求证：平面； （2）若，是棱上的一动点．试确定点的位置，使点到平面的距离等于． 18.现有31行67列表格一个，每个小格都只填1个数，从左上角开始，第一行依次为；第二行依次为；依次把表格填满．现将此表格的数按另一方式填写，从左上角开始，第一列从上到下依次为；第二列从上到下依次为；依次把表格填满．若分别表示第一次和第二次填法中第行第列的数. （1）求的表达式（用表示）； （2）若两次填写