2023年中考数学二轮专题复习——专题 反比例函数综合题 学案

专题辅导——反比例函数综合题 【题型解读】反比例函数综合是中考解答题的高频考点，主要包括两个类型：一是反比例函数与一次函数综合；二是反比例函数与几何图形综合.一方面考查了反比例函数和一次函数的图象与性质，另一方面考查了数形结合思想、方程与函数思想、待定系数法等. 类型一 反比例函数与一次函数综合 方法总结 反比例函数图象与一次函数图象相交于两点时，利用待定系数法可求得两个函数的解析式；要比较两个函数的函数值的大小，需要结合函数图象比较图象的上下位置关系；要求相关三角形的面积，需要利用x轴或y轴将三角形分为两部分，由交点的坐标获取三角形的高与底边长，从而求得三角形的面积. 考点例析 例1 如图1，在平面直角坐标系中，直线y1=k1x+b与双曲线y2=相交于A（-2，3），B（m，-2）两点. （1）求y1，y2对应的函数解析式； （2）过点B作BP∥x轴交y轴于点P，求△ABP的面积； （3）根据函数图象，直接写出关于x的不等式k1x+b<的解集. 图1 图2 解析：（1）将A（-2，3）代入y2=，得k2=-2×3=-6.所以y2=-. 将B（m，-2）代入y2=-，得-=-2，解得m=3.所以B（3，-2）. 将A（-2，3），B（3，-2）代入y1=k1x+b，得解得所以y1=-x+1. （2）如图2，过点A作AD⊥BP，交BP的延长线于点D. 因为BP∥x轴，所以AD⊥x轴，BP⊥y轴. 因为A（-2，3），B（3，-2），所以BP=3，AD=3-（-2）=5.所以S△ABP=BP•AD=×3×5=. （3）-2<x<0或x>3. 跟踪训练 1.如图，一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=的图象相交于A（1，2），B（-2，n）两点. （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）根据图象，直接写出满足k1x+b>的x的取值范围； （3）若点P在线段AB上，且S△AOP∶S△BOP=1∶4，求点P的坐标. 第1题图 类型二 反比例函数与几何图形综合 方法总结 反比例函数与几何图形的综合题，不仅考查了反比例函数的图象与性质，而且考查了相关几何图形的性质，解决此类问题一方面要掌握由点的坐标求相关线段的长，或者由相关线段的长求点的坐标；另一方面要掌握以下重要结论：如图①，S矩形OABC=|k|；如图②，S△OAD=S△OBC=|k|. ① ② 考点例析 例2 如图3，一次函数y=kx+b的图象与y轴的正半轴交于点A，与反比例函数y=的图象交于P，D两点.以AD为边作正方形ABCD，点B落在x轴的负半轴上，已知△BOD的面积与△AOB的面积之比为1∶4. （1）求一次函数的解析式； （2）求点P的坐标及△CPD外接圆半径的长. 图3 图4 解析：（1）如图4，过点D作DH⊥OA于点H，则∠DAH+∠ADH=90°. 因为∠DAH+∠BAO=90°，所以∠BAO=∠ADH. 因为AB=DA，∠AOB=∠DHA=90°，所以△ABO≌△DAH.所以OA=HD，BO=AH. 对于y=kx+b，当x=0时，y=b，所以A（0，b）.所以OA=b. 设D，则HD=a，OH=. 因为S△BOD∶S△AOB=1∶4，所以OA=4OH，即b=4•，得ab=16. 因为OA=HD，所以b=a.所以a2=16，解得a1=4，a2=-4.所以b=4.所以A（0，4），D（4，1）. 将A（0，4），D（4，1）代入y=kx+b，得解得所以一次函数的解析式为y=-x+4. （2）联立得所以P. 因为正方形ABCD的顶点A（0，4），D（4，1），所以C（1，-3）.所以PC==. 因为△PCD为直角三角形，且∠PDC=90°，所以线段PC是△PCD的外接圆直径.所以△PCD外接圆半径为. 跟踪训练 2.如图，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，OB的长是一元二次方程x2-x-30=0的一个根，且tan∠OAB=，D为AB的中点，E为x轴正半轴上一点，BE=2，直线OD与BE相交于点F. （1）求点A及点D的坐标； （2）反比例函数y=经过点F关于y轴的对称点F′，求k的值； （3）点G和点H在直线AB上，