2023年九年级中考数学二轮专题复习——专题 二次函数综合题 学案

专题辅导——二次函数综合题 【题型解读】二次函数综合题是中考的必考题,一方面考查了一次函数、二次函数的图象与性质,几何图形的性质与判定,图形变换等;另一方面考查了方程与函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、数学建模思想等.主要类型包括:线段问题,角度问题,面积问题,全等、相似三角形存在性问题,平行四边形存在性问题,特殊三角形存在性问题等. 类型一 线段问题 方法总结 1. 确定线段长 两点之间的距离可以根据两点坐标表示线段长度,已知点A(x1,y1),点B(x2,y2),则AB=,也可以构造直角三角形,利用勾股定理求出.在求这类问题时首先应该明白与x轴平行的直线上的点的纵坐标都相同,且两点间的距离是横坐标相减的绝对值;与y轴平行的直线上的点的横坐标都相同,且两点间的距离是纵坐标相减的绝对值. 2. 线段数量关系问题 根据前面所得的线段长,结合题干中线段间的数量关系,利用勾股定理或相似三角形对应边成比例,列出方程求解即可.(注意排除不符合题意的数值) 3. 求线段最大值问题 根据前面所得的线段长的关系式,构建二次函数模型,利用二次函数性质求最值,可得到线段长的最大值(注意自变量的取值范围);求两条线段和的最小值时,常用“将军饮马”模型. 考点例析 例1 如图1,抛物线y=x2+2x-8与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C. (1)求A,B,C三点的坐标; (2)连接AC,直线x=m(-4<m<0)与该抛物线交于点E,与AC交于点D,连接OD.当OD⊥AC时,求线段DE的长. 图1 图2 解析:(1)令y=0,得x2+2x-8=0,解得x1=-4,x2=2.所以点A的坐标为(-4,0),点B的坐标为(2,0). 令x=0,得y=x2+2x-8=-8.所以点C的坐标为(0,-8). (2)设直线AC的解析式为y=kx+b. 将A(-4,0),C(0,-8)代入y=kx+b,得解得所以直线AC的解析式为y=-2x-8. 设E(m,m2+2m-8),则D(m,-2m-8),所以DE=-2m-8-(m2+2m-8)=-m2-4m. 如图2,设DE交x轴于点F,则F(m,0),所以FO=-m.所以AF=m-(-4)=m+4,FD=2m+8. 因为OD⊥AC,EF⊥OA,所以∠ODC=∠COA=∠OFD=90°.所以∠ACO+∠COD=∠DOF+∠COD=90°.所以∠ACO=∠DOF.所以△ACO∽△DOF.所以=.所以OC•FD=OA•FO,即8(2m+8)=4(-m),解得m=-所以DE=-m2-4m=-4×=. 跟踪训练 1.如图,已知抛物线y=ax2+bx+4经过A(-1,0),B(4,0)两点,交y轴于点C. (1)求抛物线的解析式; (2)连接BC,求直线BC的解析式; (3)请在抛物线的对称轴上找一点P,使AP+PC的值最小,求点P的坐标,并求出此时AP+PC的最小值. 第1题图 类型二 角度问题 方法总结 如果要证明两角相等,可通过平行线、等边对等角、轴对称或相似三角形求解;如果要构造一个45°的角,可通过等腰直角三角形、同弧所对圆周角等于90°圆心角的一半、平分直角等解决;在二倍角的问题中,可利用等腰三角形顶角的外角等于底角2倍,构造2倍角,再利用正切三角函数计算. 考点例析 例2 如图3,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-1,0)和点B,与y轴交于点C,顶点D的坐标为(1,-4). (1)直接写出抛物线的解析式; (2)若点P在抛物线上且满足∠PCB=∠CBD,求点P的坐标. 图3 图4 解析:(1)由顶点D的坐标为(1,-4),设抛物线的解析式为y=a(x-1)2-4. 将A(-1,0)代入y=a(x-1)2-4,得a(-1-1)2-4=0,解得a=1.所以该抛物线的解析式为y=(x-1)2-4=x2-2x-3. (2)因为抛物线对称轴为x=1,A(-1,0),所以点B的坐标为(3,0). 设直线BD的解析式为y=kx+d. 将B(3,0),D(1,-4)代入y=kx+d,得解得所以直线BD的解析式为y=2x-6. 如图4,过点C作CP1∥BD,交抛物线于点P1. 由y=x2-2x-3,得C(0,-3).所以直线CP1的解析式为y=2x-3. 联立解得所以P1(4,5). 如图4,过点B作y轴的平行线与过点C作x轴的平行线交于点G. 因为OB=OC,∠BOC=∠OBG=∠OCG=90°,所以四边形OBGC是正方形.所以OC=GC=BG=3,∠COE=∠G=90°,∠OCB=∠GCB=45°. 设CP1与x轴交于点E. 令2x-3=0,解得x=所以E. 在x轴下方作∠BCF=∠BCE,交BG于点F,交抛物线于点P2. 所以∠OCB-∠BCE=∠GCB-∠BCF,即∠OCE