6.2.4向量的数量积运算讲义-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第六章 平面向量及其应用 6.2平面向量的运算 6.2.4 平面向量的数量积 知识梳理 一、平面向量的数量积 平面向量的数量积 定义 设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b ，规定：零向量与任一向量的数量积为0． 　 投影 |a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影， |b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影 几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积 平面向量数量积的性质 设、都是非零向量，θ为a与b的夹角．则 ① ②当与同向时，；当与反向时，． ③或．（求向量的模长公式） ④．（求向量夹角公式） ⑤． 平面向量数量积满足的运算律 已知向量、、和实数，则： ①； ②； ③． 平面向量的数量积与共线问题 两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且a，b不共线； 两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b<0且a，b不共线． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型梳理 题型精析 题型一、平面向量的数量积运算 【例1】(1)已知向量a与b满足|a|＝10，|b|＝3，且向量a与b的夹角为120°.求： ①(a＋b)·(a－b)； ②(2a＋b)·(a－b)． （2）若|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为60°，则a·b等于( ) A． B． C．1 D．2 （3）已知正三角形ABC的边长为1，求： ①·； ②·； ③·. 【例2】已知向量与的夹角为120°，且，，若，且，则实数的值为__________. 2 变式训练 1、已知单位向量a，b的夹角为45°，ka–b与a垂直，则k=__________. 2、已知向量，满足，，则　　 A．4 B．3 C．2 D．0 3、已知边长为1的等边△ABC，，则（　　） A． B．3 C． D．6 4、设向量与夹角的余弦值为，且，则（    ） A． B． C．3 D．-3 题型二、平面向量的模运算 【例3】已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________. 【例4】已知向量a与b夹角为45°，且|a|＝1，|2a＋b|＝，求|b|. 变式训练 1、向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝，a与b的夹角为60°，则|b|＝( ) A. B. C. D. 2、（1）若向量a，b满足|a|＝|b|＝2，a与b的夹角为60°，则|a＋b|等于( ) A．2 B．2 C．4 D．12 （2）向量a，b的夹角为120°，且，则等于______ 3、（1）已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝，|b|＝2，在△ABC中，＝2a＋2b，＝2a－6b，D为BC的中点，则||＝________. （2）已知，，，的夹角为，如图所示，若，，且D为BC中点，则的长度为 A. B. C.7 D.8 4、若向量满足： （ ） A.2 B. C.1 D. 题型三、平面向量的夹角运算 【例5】（1）已知，是单位向量，且满足，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. （2）已知向量，是夹角为60°的单位向量，则向量与向量的夹角是____________. （3）已知向量，满足，且，，则、的夹角为 （4）若非零向量满足，则的夹角为（ ） A. B. C. D. （5）已知非零向量满足的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. （6）已知非零向量满足有实根，则的夹角的取值范围是( ) A. B. C. D. 变式训练 1、已知非零向量a，b满足|a|＝1，且(a－b)·(a＋b)＝. （1）求|b|；（2）当a·b＝时，求向量a与b的夹角θ的值． 2、已知，，. （1）求与的夹角； （2）若，且，求. 3、已知，，，求： （1）与的夹角； （2）与的夹角的余弦值． 4、如图，菱形的边长为，，，．求：（1）；（2）． 5、非零向量，满足：，，则与夹角的大小为（ ） A． B． C． D． 题型四、平面向量的投影 【例6】已知单位向量e1，e2的夹角为，a＝2e1－