2023年九年级中考数学高频考点拔高训练--三角形与圆的综合题

2023年中考数学高频考点拔高训练-三角形与圆的综合题 一、综合题 1.如图,⊙O是△ABC的外接圆,点I是△ABC的内心,延长AI交⊙O于点D,连接DB、DC. (1)求证:DB=DC=DI; (2)若⊙O的半径为10cm,∠BAC=120°,求△BDC的面积. 2.如图,点 是 的内心, 的延长线和 的外接圆 相交于点 ,过 作直线 . (1)求证: 是 的切线; (2)求证: ; (3)若 , ,求 的半径. 3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8. (1)尺规作图:作三角形ABC的内切圆⊙O,⊙O分别与AB、BC、CA相切于点D、E、F保留作图痕迹,不写作法. (2)求⊙O的半径r. 4.如图, 是△ABC的外心,I是△ABC的内心,连AI并延长交BC和⊙O于D、E两点. (1)求证:EB=EI; (2)若AB=4,AC=3,BE=2,求AI的长. 5.如图,O是△ABC的内心,BO的延长线和△ABC的外接圆相交于D,连结DC、DA、OA、OC,四边形OADC为平行四边形. (1)求证:△BOC≌△CDA. (2)若AB=2,求阴影部分的面积. 6.如图,⊙O为△ABC的外接圆,D为OC与AB的交点,E为线段OC延长线上一点,且∠EAC=∠ABC. (1)求证:直线AE是⊙O的切线; (2)若D为AB的中点,CD=3,AB=8. ①求⊙O的半径;②求△ABC的内心I到点O的距离. 7.已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,⊙O与△ABC的三边分别切于点D,E,F. (1)连接AO、BO,求∠AOB的度数; (2)连接BD,若tan∠DBC= ,求tan∠ABD的值. 8.如图,点E是△ABC的内心,AE的延长线与△ABC的外接圆相交于点D. (1)若∠BAC=70°,求∠CBD的度数; (2)求证:DE=DB. 9.如图,点E是△ABC的内心,AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D,过D作直线DG∥BC. (1)求证:DG是⊙O的切线; (2)若DE=6,BC=6 ,求优弧 的长. 10.如图,点M是 的内心,BM的延长线和 的外接圆相交于D,连接DC、DA、MA、MC,四边形MADC是平行四边形. (1)求证:MA=MC. (2)若 ,则请直接写出弧 的长为 .(结果保留 ) 11.已知 的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于D、E、F,若 ,如图1. (1)判断 的形状,并证明你的结论; (2)连接AE,若 ,求AE的长. 12.如图1,△ABC中,CA=CB,点O在高CH上,OD⊥CA于点D,OE⊥CB于点E,以O为圆心,OD为半径作⊙O. (1)求证:⊙O与CB相切于点E; (2)如图2,若⊙O 过点H,且AC=5,AB=6,连结EH,求△BHE的面积. 13.我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了“三斜求积术”,三斜即指三角形的三条边长,可以用该方法求三角形面积.若改用现代数学语言表示,其形式为:设 , , 为三角形三边, 为面积,则 ① 这是中国古代数学的瑰宝之一. 而在文明古国古希腊,也有一个数学家海伦给出了求三角形面积的另一个公式,若设 (周长的一半),则 ② (1)尝试验证.这两个公式在表面上形式很不一致,请你用以5,7,8为三边构成的三角形,分别验证它们的面积值; (2)问题探究.经过验证,你发现公式①和②等价吗?若等价,请给出一个一般性推导过程(可以从①②或者②① ; (3)问题引申.三角形的面积是数学中非常重要的一个几何度量值,很多数学家给出了不同形式的计算公式.请你证明如下这个公式:如图, 的内切圆半径为 ,三角形三边长为 , , ,仍记 , 为三角形面积,则 . 14.如图,点O是△ABC的内心,过点O作EF∥AB,与AC,BC分别交于点E,F. (1)比较EF与AE+BF的大小关系; (2)若AE=5,BF=3,求EF的长. 15.已知:如图,⊙O是Rt△ABC的内切圆,∠C=90°. (1)若AC=12cm,BC=9cm,求⊙O的半径r; (2)若AC=b,BC=a,AB=c,求⊙O的半径r. 16.如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,给出了以格点(网格线的交点)为顶点的 ,且 . (1)将 绕点 顺时针旋转90°后得到 (其中 三点旋转后的对应点分别是 ),画出 . (2)设 的内切圆的半径为 , 的外接圆的半径为 ,则 . 答案解析部分 1.【答案】(1)证明:∵点I是△ABC的内心, ∴AI平分 ,BI平分∠ABC, ∴∠BAD=∠DAC,∠ABI=∠CBI, ∴BD=DC. ∵∠DBC=∠DAC, ∴∠BAD=∠DBC. ∵∠DBI=∠DBC+∠CBI,∠DIB=∠ABI+∠BAD, ∴∠DBI=∠DIB, ∴