6.4.3.1余弦定理 课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

人教A版高中数学必修第二册 6.4.3（1）余弦定理 广信数学组 1 引入新知 一般地，三角形的三个角A, B, C和它们的对边a, b, c叫做三角形的元素。 已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 2 课堂引入 一个三角形含有各种各样的几何量，例如三边边长、三个内角的度数、面积等，它们之间存在着确定的关系。例如，我们得到过勾股定理、锐角三角函数，这是直角三角形中的边、叫角定量关系。 对于一般三角形，我们已经定性地研究过三角形的边、角关系得到了SSS,SAS,ASA,AAS等判定三角形全等的方法。这些判定方法表明，给定三角形的三个角、三条边这六个元素中的某些元素，这个三角形就是唯一确定的。那么三角形的其他元素与给定的某些元素有怎样的数量关系？ 下面我们利用向量方法研究这个问题。 3 我们知道，两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。SAS 探索新知 4 探索新知 若△ABC为任意三角形，已知角C，a, b,求边 c. 由向量减法的三角形法则得 设 C A c a b ﹚ B 5 同理可得 C A c a b ﹚ B 探索新知 C B A b a c 三角形任何一边的平方，等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 余弦定理 7 课堂探究 若已知a,b,c,可以求什么？ 已知两边和它们的夹角求第三边 8 课堂典例 例1. 如图，在△ABC中，已知a=5，b=4，∠C=120°，求c. 解：由余弦定理，得 因此 9 课堂典例 解：由余弦定理得 例2 在△ABC中，已知a= ,b=2, c= , 解三角形. 10 已知三角形的三边，求三角形的三个内角 已知三角形的两边及夹角，求其他边和角 判断三角形的形状 课堂探究 思考：勾股定理指出了直角三角形中三边之间的关系，余弦定理则指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系。你能说说这两个定理之间的关系吗？ 勾股定理 令C＝900 由此可见，余弦定理是勾股定理的推广，而勾股定理是余弦定理的特例。 12 课堂探究 思考：如何判断三角形的形状? 推论： C B A b a c 设a是最长的边，则 △ABC是钝角三角形 △ABC是锐角三角形 △ABC是直角三角形 13 课堂典例 例3 在△ABC中，若 　　，则△ABC的形状为（　 ） Ａ、钝角三角形　　　Ｂ、直角三角形 Ｃ、锐角三角形　　　Ｄ、不能确定 A D 练习：三角形三边长分别为4,6,8，则此三角形为（ ） Ａ、钝角三角形　 　　Ｂ、直角三角形 Ｃ、锐角三角形 　　　Ｄ、不能确定 A 14 课堂练习 练习：已知△ABC的三边为 、2、1，求它的最大内角。 解：不妨设三角形的三边分别为a= ,b=2,c=1则最大内角为∠A.由余弦定理的推论得： 思考：若已知三边的比是 :2:1,又怎么求？ 结论：已知三边可求三个角。（SSS） 15 课堂小结 余弦定理可以解决的有关三角形的问题： 1、已知两边及其夹角，求第三边和其他两个角。 2、已知三边求三个角； 3、判断三角形的形状. 余弦定理： 推论: 16 $