6.2.1 空间向量基本定理-【题型分类归纳】2022-2023学年高二数学同步讲与练(苏教版2019选择性必修第二册)

6.2.1 空间向量基本定理 一、空间向量基本定理 1、空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使. 2、基底与基向量：如果三个向量不共面，那么空间的每一个都可由向量线性表示，我们把称为空间的一个基底，都叫做基向量。 说明：空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底. 二、空间向量的正交分解 1、单位正交基底：如果空间一个基底的三个向量两两互相垂直，那么这个基底叫作正交基底， 特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底， 通常用表示。 2、正交分解：把一个空间向量分解成三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正角分解。 三、基底的判断思路 1、判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，则可以作为一个基底； 2、判断基底时，常常依托于正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构成其他向量进行相关的判断、 四、用基底表示向量的步骤 1、变基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底； 2、找目标：用确定的基底（或已知基底）表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果。 3、下结论：利用空间向量的一个基底可以表示出空间所有向量，表示要彻底，结果中只能含有，不能含有其他形式的向量 题型一 对空间向量基本定理的认识 【例1】下列说法正确的是（ ） A．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底 B．空间的基底有且仅有一个 C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底 D．直线的方向向量有且仅有一个 【变式1-1】下列结论正确的是（ ） A．三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面 B．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 C．若，是两个不共线的向量，且,且，则，，构成空间的一个基底 D．若，，不能构成空间的一个基底，则，，，四点共面 【变式1-2】若构成空间的一个基底，则下列向量也可以构成空间中的一个基底的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】设向量是空间一个基底，则一定可以与向量构成空间的另一个基底的向量是 A． B． C． D．或 题型二 用基底表示空间向量问题 【例2】在空间四边形中，，，，点M在上，且，N为的中点，则（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，在平行六面体中，P为与的交点，若，，，则（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，在三棱锥S-ABC中，E，F分别为SA，BC的中点，点G在EF上，且满足，若，，，则（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】如图，在平行六面体中，，，两两夹角为60°，长度分别为2，3，1，点在线段上，且，记，，．试用，，表示． 题型三 空间向量基本定理的应用 【例3】若是空间的一个基底，且，则叫在基底下的坐标.已知在基底下的坐标为，则在另一组基底下的坐标为（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】在正方体中，P为的中点，E为的中点，F为的中点，O为EF的中点，直线PE交直线于点Q，直线PF交直线于点R，则（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知是一个空间的基底，向量，，，，若则x，y，z分别为（ ）． A．，， B．，1， C．，1， D．，1， 【变式3-3】已知空间四边形OABC中，，且OA=OB=OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.2.1 空间向量基本定理 一、空间向量基本定理 1、空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使. 2、基底与基向量：如果三个向量不共面，那么空间的每一个都可由向量线性表示，我们把称为空间的一个基底，都叫做基向量。 说明：空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底. 二、空间向量的正交分解 1、单位正交基底：如果空间一个基底的三个向量两两互相垂直，那么这个基底叫作正交基底， 特别地，当一个正交