山东省威海市乳山市第一中学2022-2023学年高二下学期开学考试数学试题

高二数学开学检测题2.6 一、单选题 1. 已知是关于的方程的根，则实数( ). A. B. C. D. 2. 直线的斜率为( ) A. B. C. D. 3. 已知动点在直线：上运动，动点在直线：上运动，且，则的最小值为( ) A. B. C. D. 4. 已知在一个二面角的棱上有两个点、，线段、分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，，，，，则这个二面角的度数为( ) A. B. C. D. 5. 如图，在正四面体中，是的中点，则与所成角的余弦值是( ) A. B. C. D. 6. 若关于的方程恰有两个实数根，则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 7. 若等差数列的前项和为，首项，，，则满足成立的最大正整数是( ) A. B. C. D. 8. 已知数列的各项均为正数，，，若数列的前项和为，则( ) A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知数列，下列结论正确的有( ) A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，则数列是等比数列 D. 若，，则 10. 关于双曲线：与双曲线：下列说法正确的是( ) A. 它们的实轴长相等 B. 它们的渐近线相同 C. 它们的离心率相等 D. 它们的焦距相等 11. 已知圆：和圆：的公共点为，，则( ) A. B. 直线的方程是 C. D. 12. 已知正方体的棱长为，点，在平面内，若，，则( ) A. 点的轨迹是一个圆 B. 点的轨迹是一个圆 C. 的最小值为 D. 与平面所成角的正弦值的最大值为 三、填空题 13. 若直线与直线互相垂直，则实数的值为____． 14. 已知，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为____. 15. 若数列的前项和为，则数列的通项公式是____. 16. 若为直线上一个动点，从点引圆：的两条切线，（切点为，），则的最小值是____. 四、解答题 17. 在①圆与轴相切，且与轴正半轴相交所得弦长为． ②圆经过点和； ③圆与直线相切，且与圆：相外切这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的圆存在，求出圆的方程；若问题中的圆不存在，说明理由． 问题：是否存在圆，____，且圆心在直线上． 注：如果选择多个条件分别解答． 18. 已知数列满足，． (1)设，求证：数列是等比数列； (2)求数列的前项和． 19. 正项数列的前项和满足：. (1)求数列的通项公式； (2)令，数列的前项和为，证明：对于任意的，都有. 20. 如图，在四棱锥中，四边形为矩形，，，平面平面． (1)证明：平面平面； (2)若为中点，求平面与平面的夹角的余弦值． 21. 如图，在三棱锥中，，，为的中点. (1)证明：平面； (2)若点在棱上，且二面角为，求直线与平面所成角的正弦值. 22. 已知椭圆：的左右顶点分别为，，离心率为，且过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作与轴不重合的直线与椭圆相交于，两点（在，之间）．证明：直线与直线的交点的横坐标是定值． 高二数学开学检测答案和解析2.6 1. B2. C3. C4. C5. B6. B7. B8. C9. AB10. BD11. ABD12. ACD 13. 14. 且15. 16. 17. 【答案】选择条件①：设圆心的坐标为，圆的半径为．因为圆心在直线上，所以． 因为圆与轴相切，且与轴正半轴相交所得弦长为所以，，且， 由垂径定理得，解得，所以，，所以圆的方程为． 选择条件②：设圆心的坐标为，圆的半径为．因为圆心在直线上，所以． 因为圆经过点和，的中点，所以的中垂线方程为． 联立直线，解得，即，，， 所以圆的方程为． 选择条件③：设圆心的坐标为，圆的半径为．因为圆心在直线上，所以， 所以，所以，因为圆与圆相外切，所以，即， 可得：，因为该方程，所以方程无解，故不存在满足题意的圆． 18. (1)由，，可得， 因为，则，，可得是首项为，公比为的等比数列． (2)由（1）知，由，可得， ， ， 上面两式相减可得： ， 则． 19. 【答案】 (1)由，得. 由于是正项数列，所以，. 当时，， 当时，. 综上可知，数列的通项公式. (2)证明：由于，， 所以， . 20. 【答案】 (1)证明：因为平面平面，平面平面， 矩形中，，所以平面． 因为平面，所以． 又因为，，平面， 平面， 所以平面． 因为平面，所以平面平面． (2)解：由（1）知平面，取中点，连接，因为，则， 以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 则，，． 设平面的法向量为， 则，即． 令，则，，所以．