专题15 折叠问题中的勾股定理-【微专题】2022-2023学年八年级数学下册常考点微专题提分精练（人教版）

专题15 折叠问题中的勾股定理 【例题讲解】 （1）如图①，Rt△ABC的斜边AC比直角边AB长2cm，另一直角边BC长为6cm，求AC的长． （2）拓展：如图②，在图①的△ABC的边AB上取一点D，连接CD，将△ABC沿CD翻折，使点B的对称点E落在边AC上． ①AE的长．②求DE的长． 解：（1）设AB＝x cm，则AC＝（x＋2）cm，∵AC2＝AB2＋BC2， ∴（x＋2）2＝x2＋62，解得x＝8，∴AB＝8cm，∴AC＝8＋2＝10（cm）； （2）①由折叠的性质可得∠DEC＝∠DBC＝90°，DE＝DB，EC＝BC＝6cm， ∴AE＝AC−EC＝4cm； ②设DE＝DB＝ycm，则AD＝AB−BD＝（8−y）cm， 在Rt△ADE中，AD2＝AE2＋DE2，∴（8−y）2＝42＋y2， 解得：y＝3，∴DE＝3cm． 【综合解答】 1．如图，在中，，，，在边上有一点，将沿直线折叠，点恰好在延长线上的点处，求的长． 【答案】CM= 【解析】 【分析】 在直角三角形CDM中，根据勾股定理可得方程，可求出CM的长． 【详解】 解：连接DM ∵折叠， ∴BM=DM， ∵BC=3，AC=4， ∴AB=AD==5， ∴CD=AD-AC=1， 在Rt△CDM中，DM2=CD2+CM2 ∴（3-CM）2=1+CM2 ∴CM= 【点睛】 本题考查了折叠问题，勾股定理的运用，关键是灵活运用折叠的性质解决问题． 2．如图，将长方形OABC置于平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，4)，点C的坐标为(m，0)(m>0)，点D(m，1)在BC上，将长方形OABC沿AD折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B的对应点为点E. (1)当m＝3时，点B的坐标为________，点E的坐标为________； (2)随着m的变化，试探索：点E能否恰好落在x轴上？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)(3，4)；(0，1)；(2)点E能恰好落在x轴上，m的值是3，理由见详解. 【解析】 【分析】 （1）根据点A、点D、点C的坐标和矩形的性质可以得到点B和点E的坐标； （2）由折叠的性质求得线段DE和AE的长，然后利用勾股定理得到有关m的方程，求得m的值即可. 【详解】 解：(1)点B的坐标是（3,4） ∵ AB=BD=3， ∴△ABD是等腰直角三角形， ∴∠BAD=45， 则∠DAE=∠BAD=45， 则E在y轴上． AE=AB=BD=3， ∴四边形ABDE是正方形，OE=1， 则点E的坐标为(0,1)； 故答案为(3,4),(0,1)； (2)点E能恰好落在x轴上． 理由如下： ∵四边形OABC为长方形， ∴BC＝OA＝4，∠AOC＝∠DCO＝90°， 由折叠的性质可得DE＝BD＝BC－CD＝4－1＝3，AE＝AB＝OC＝m. 如图，假设点E恰好落在x轴上．在Rt△CDE中， 由勾股定理可得EC＝＝＝2， 则有OE＝OC－CE＝m－2. 在Rt△AOE中，OA2＋OE2＝AE2，即42＋(m－2)2＝m2，解得m＝3. 故答案为(1)(3，4)；(0，1)；(2)点E能恰好落在x轴上，m的值是3. 【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题），勾股定理. 3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝a，AD是BC边上的中线，将A点翻折与点D重合，得到折痕EF． （1）若a＝4，求CE的长； （2）求的值． 【答案】（1）CE＝1.5；（2） 【解析】 【分析】 （1）设CE＝x，根据勾股定理列出方程，解方程求出x，计算即可； （2）设CE＝y，根据勾股定理列出方程，解方程求出x、y的关系，计算即可． 【详解】 解：（1）设， ，AD是BC边上的中线， ∴CD＝2， 由翻转变换的性质可知，， 由勾股定理得，， 解得，， 则CE＝1.5. （2）设， ∵，AD是BC边上的中线， ， 由翻转变换的性质可知，， 由勾股定理得，， 解得，， 则， ∴ 【点睛】 本题考查了利用勾股定理解直角三角形的过程，解题的关键是：在直角三角形中利用勾股定理建立等式。进行求解． 4．已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】 过点E做于点H，由四边形是长方形和折叠知，再用平行线的性质和勾股定理即可求解． 【详解】 解：过点E做于点H， 过点E作 ∵四边形是长方形 四边形是矩形 设， 由折叠知， ， 在中， 解得， ， ， 又， ， ， 又， ， 在中， 【点睛】 此题考查了折叠的性质、长方形的性质以及勾股定理、此题难度不大，掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想与方程思想的应用． 5．在矩形中，，，点D为边上一点，将沿直线折叠，使点B恰好落在边上的点E处，分别以，所在的直线为x轴，y