专题12 将军饮马与勾股定理-【微专题】2022-2023学年八年级数学下册常考点微专题提分精练（人教版）

专题12 将军饮马与勾股定理 【例题讲解】 请阅读下列材料：问题：如图1，点A、B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使得AP＋BP的值最小．小明的思路是：如图2，作点A关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点P即为所求． 请你参考小明同学的思路，探究并解决下列问题： (1)如图3，在图2的基础上，设与直线l的交点为C，过点B作，垂足为D，若CP＝1，PD＝2，AC＝1，写出AP＋BP的值； (2)将（1）中的条件“AC＝1”去掉，换成“”，其它条件不变，写出此时AP＋BP的值； (3)请结合图形，求出的最小值． (1)解：如图2， ∵AA′⊥l，AC＝1，PC＝1， ∴△APC为等腰直角三角形， ∴PA＝，∠APO=45°， ∵作点A关于直线l的对称点， ∴PA′＝PA＝，∠A′PC=∠APC=45°，∵， ∴∠B=90°-∠BPD=90°-45°=45°，∴∠BPD=∠B，∴PD=BD=2， ∴BP=，∴AP+PB＝+2＝3； (2)解：作A′E∥l，交BD的延长线于E，如图3， ∵A′C⊥l，BD⊥l， ∴∠A′CD=∠EDC=90°， ∵A′E∥l，∴A′C⊥A′E， ∴∠CA′E=90°， ∴∠A′CD=∠EDC=∠CA′E=90°，， ∴四边形A′EDC是矩形， ∴A′E＝DC＝PC+PD＝3，DE＝A′C＝AC， ∵BD＝4﹣AC，∴BD+AC＝BD+DE＝4，即BE＝4，在RT△A′BE中，A′B＝＝5， ∴AP+BP＝5， (3)解：如图3，设AC＝2m﹣2，PC＝1，则PA＝；设BD＝8﹣2m，PD＝2，则PB＝，∵DE＝A′C＝AC=2m﹣2，    ∴BE＝BD+DE＝2m-2+8-2m=6，A′E＝CD＝PC+PD＝3， ∴PA+PB＝A′B＝＝． 即的最小值为． 【综合解答】 1．如图所示，有一个长、宽各2米，高为3米的无盖长方体纸盒放在桌面上，一只昆虫从顶点要爬到顶点，那么这只昆虫爬行的最短路程为（          ） A．3米 B．4米 C．5米 D．6米 【答案】C 【解析】 【分析】 分别画出三个路径的示意图，利用勾股定理求出路程，再从中找出最短路程即可． 【详解】 解：由题意，有以下三个路径： ①如图，路径一： 则这只昆虫爬行的路程为（米）； ②如图，路径二： 则这只昆虫爬行的路程为（米）； ③如图，路径三： 则这只昆虫爬行的路程为（米）； 因为， 所以这只昆虫爬行的最短路程为5米， 故选：C． 【点睛】 本题考查了勾股定理的应用，正确画出三个路径的示意图是解题关键． 2．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B在棱上且离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（       ） A．25 B．5 C． D．5 【答案】A 【解析】 【分析】 要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】 只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图 ∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5， ∴BD=CD+BC=10+5=15，AD=20， 在直角三角形ABD中，根据勾股定理得： ∴； 只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图： ∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5， ∴BD=CD+BC=20+5=25， 在直角三角形ABD中，根据勾股定理得： ∴； 只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图： ∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5， ∴AC=CD+AD=20+10=30， 在直角三角形ABC中，根据勾股定理得： ∴； ∵25＜＜， ∴蚂蚁爬行的最短距离是25， 故选：A． 【点睛】 本题主要考查两点之间线段最短，关键是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答． 3．如图，点，分别为轴、轴上的动点，，点是的中点，点，，过作轴．点为直线上一动点，则的最小值为（       ） A． B．9 C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 作关于的对称点，连接，交于点，连接，根据，求得的最小值，进而求得的最小值 【详解】 解：如图，作关于的对称点，连接，交于点，连接， ，， 当共线时，最短 则的最小值为 是直角三角形，点是的中点， 点，， 即的最小值为9 故选B 【点睛】 本题考查了轴对称的性质求线段和最小值，图形与坐标，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，掌握轴对称的性质求最值问题是解题的关键． 4．如图，在边长为2的正方形ABCD中，连接对角线AC，将△ADC沿射线CA的方向平移得到△A'D'C'，分别连接BC'，AD'，BD'，则BC'＋BD'