专题11 勾股定理与构造图形解决问题-【微专题】2022-2023学年八年级数学下册常考点微专题提分精练（人教版）

专题11 勾股定理与构造图形解决问题 【例题讲解】 在学习利用旋转解决图形问题时，老师提出如下问题： （1）如图1，点是正方形内一点，，，，你能求出的度数吗？ 小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路： 思路一：将绕点逆时针旋转，得到，连接，可求出的度数； 思路二：将绕点顺时针旋转，得到，连接，可求出的度数； 请参照小明的思路，任选一种写出完整的解答过程； （2）如图2，若点是等边三角形内一点，若，则线段，，满足怎样的等量关系？请参考小明上述解决问题的方法进行探究，直接写出线段，，满足的等量关系． 解：（1）思路一：如图1，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△，连接， 则 ∴， 根据勾股定理得，， ∵AP=1， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 思路二： 将△PAB绕点B顺时针旋转90°，得到，连接， ∴ ∴, ∵∴∴， ∴ ∴； （2），理由如下： 如图，由等边可得： 把绕点顺时针旋转得到 则 为等边三角形， 【综合解答】 1．如图，点是等边三角形内一点，且，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 将△BCP绕B逆时针旋转60°，点C和A重合，P到P′，连接PP′，得出等边三角形PBP′，求出∠BPP′=60°，推出直角三角形APP′，求出∠APP′，即可求出； 【详解】 解：将绕逆时针旋转，点和重合，到，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∵， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】 本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，掌握等边三角形的性质，勾股定理，旋转的性质是解题的关键. 2．如图，，，，点、为边上的两点，且，连接、，则下列结论：①； ②是等腰直角三角形； ③； ④，其中正确的有（     ） A．①③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】 根据SAS得△AED≌△AEF，证明△ABF≌△ACD，得出BF＝CD；由△AED≌△AEF，得到DE＝EF；证明∠EBF＝90°，即可解决问题． 【详解】 解：∵∠DAF=90°，∠DAE=45°， ∴∠FAE=45°=∠DAE， 在△AED与△AEF中，AE=AE，∠EAF=∠EAD，AD=AF， ∴△AED≌△AEF（SAS），故①正确； ∵∠BAC=∠DAF=90°， ∴∠BAF=∠DAC； 在△ABF与△ACD中，AB=AC，∠FAB=∠DAC，AF=AD， ∴△ABF≌△ACD（SAS）， ∴BF=CD；∠ABF=∠ACD=45°， ∵∠EBF＝∠ABC+∠ABF=90°， D,E点在BC边上位置不固定，故不能得到BE=CD, 所以是直角三角形，②错误； ∵△AED≌△AEF， ∴DE＝EF； ∴BE2＋BF2＝EF2， 即BE2＋DC2＝DE2，③正确； 连接FD， ∵∠FBD=90°，∠DAF=90°， ∴BF2＋BD2＝FD2， AF2＋AD2＝FD2， ∴BF2＋BD2＝AF2＋AD2， 又∵BF=DC，AD=AF ∴，故④正确； ∴正确的有：①③④ 故答案为：C． 【点睛】 该题主要考查了全等三角形的判定及性质、勾股定理、相似三角形的判定；证明三角形全等是解决问题的关键． 3．如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转60°得到线段，连接．若，，，则四边形的面积为___________． 【答案】6+4 【解析】 【分析】 连结PP′，如图，由等边三角形的性质得到∠BAC=60°，AB=AC，由旋转的性质得到CP=CP′=4，∠PCP′=60°，得到△PCP′为等边三角形，求得PP′=PC=4，根据全等三角形的性质得到AP′=PB=5，根据勾股定理的逆定理得到△APP′为直角三角形，∠APP′=90°，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】 连结PP′，如图， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠BAC=60°，AB=AC， ∵线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CP'， ∴CP=CP′=4，∠PCP′=60°， ∴△PCP′为等边三角形， ∴PP′=PC=4， ∵∠ACP+∠BCP=60°，∠ACP+∠ACP′=60°， ∴∠BCP=∠ACP′，且AC=BC，CP=CP′ ∴△BCP≌△ACP′（SAS）， ∴AP′=PB=5， 在△APP′中，∵PP′2=42=16，AP2=32=9，AP′2=52=25， ∴PP′2+AP2=AP′2， ∴△APP′为直角三角形，∠APP′=90°， ∴S四边形APCP′=S△APP′+S△PCP′= AP×PP′+ ×PP′2=6+4 ， 故答案为：6+4． 【点睛】 此题考查旋转的性质，全等三角形的性质，勾股定理以及逆定理，证明△APQ为等边三角形是解题的关键． 三、解答题 4