专题10 勾股定理与高与中线有关的计算-【微专题】2022-2023学年八年级数学下册常考点微专题提分精练（人教版）

专题10 勾股定理与高与中线有关的计算 【例题讲解】 在中，分别是的中线，高，若，则线段的长为__________． 【详解】根据勾股定理，得DE=， ∵ CD=5，，AD=BD，∴AD=CD=BD=5， 当点E在点D的下部时， AC=； 当点E在点D的上部时， AC=； 故答案为：6或8． 【综合解答】 1．在中，AD是BC边上的高，，则的面积为（       ） A．18 B．24 C．18或24 D．18或30 【答案】D 【解析】 【分析】 由勾股定理分别求出BD和CD，分AD在三角形的内部和AD在三角形的外部两种情况，由三角形面积公式计算即可． 【详解】 解：在Rt△ABD中， 由勾股定理得：BD==12， 在Rt△ACD中， 由勾股定理得：CD==， 分两种情况： ①如图1，当AD在△ABC的内部时，BC=12+3=15， 则△ABC的面积=BC×AD=×15×4=30； ②如图2，当AD在△ABC的外部时，BC=12-3=9， 则△ABC的面积=BC×AD=×9×4=18； 综上所述，△ABC的面积为30或18， 故选：D． 【点睛】 本题考查的是勾股定理、三角形面积以及分类讨论等知识，熟练掌握勾股定理，进行分类讨论是解题的关键． 2．如图，中，，三条高AD，BE，CF交于点G，已知，，则CG长为（       ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】B 【解析】 【分析】 证明为等腰直角三角形，求出AE，证明为等腰直角三角形，求出AC，进一步求出CE，证明为等腰直角三角形，即可求出． 【详解】 解：∵，， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 故选：B． 【点睛】 本题考查三角形的高，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，关键是求出CE，再利用为等腰直角三角形求解CG． 3．若中，，，高，则的长为（       ） A．28或8 B．8 C．28 D．以上都不对 【答案】A 【解析】 【分析】 本题应分两种情况，①如果角C是钝角，此时高AD在三角形的外部，在RT△ABD中利用勾股定理求出BD，在RT△ACD中利用勾股定理求出CD，然后可得出BC=BD-CD，继而可得出△ABC的周长；②如果角C是锐角，利用勾股定理求出BD、BC，根据BC=BD+CD求出BC，进而可求出周长． 【详解】 解：①如果角C是钝角， 在RT△ABD中，BD==18，在RT△ACD中，CD==10， ∴BC=18-10=8； ②如果角C是锐角，此时高AD在三角形的内部， 在RT△ABD中，BD==18，在RT△ACD中，CD==10， ∴BC=18+10=28； 综上可得BC的长为28或8． 故选：A． 【点睛】 本题考查了勾股定理及三角形的知识，分类讨论是解答本题的关键，如果不细心很容易将∠C为钝角的情况忽略，有一定的难度． 4．如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则△ABC中AB边上的高为（       ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据小正方形的边长为1，利用勾股定理求出AB，由正方形面积减去三个直角三角形面积求出三角形ABC面积，利用面积法求出AB边上的高即可． 【详解】 解：如图，CD为AB边上的高， ∴， ∵ ， ∴ ， 故选：B． 【点睛】 此题考查了勾股定理，以及三角形的面积，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 5．如图，在4×7的正方形网格中，有一个格点三角形ABC，那么BC边上的高与AB的比值为(          ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 根据三角形的面积相等法求出BC上的高，勾股定理求出AB，然后求比值即可 【详解】 设正方形的边长为“1”，BC边上的高为h, 则AB= = ，BC= = S△ABC=×5×2=×h ∴h= ∴ = = 故本题答案应为：D 【点睛】 用面积法求三角形的高及勾股定理是本题的考点，利用勾股定理求出BC及AB是解题的关键. 6．在中，边上的中线，则的面积为（       ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【解析】 【分析】 本题考查三角形的中线定义，根据条件先确定ABC为直角三角形，再根据勾股定理求得 ，最后根据求解即可. 【详解】 解：如图，在中，边上的中线， ∵CD=3，AB= 6， ∴CD=3，AB= 6， ∴CD= AD= DB ， ， ， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故选B. 【点睛】本题考查三角形中位线的应用，熟练运用三角形的中线定义以及综合分析、解答问题的能力，关键要懂得：在一个三角形中，如果获知一条边上的中线等于这一