6.4 平面向量的应用-【三维同步讲练】2022-2023学年高一数学同步精讲系列【知识点·方法·题型】（人教A版2019必修第二册）

6.4 平面向量的应用 1.掌握利用向量法解决平面几何中的垂直、平行、长度、夹角、面积等问题. 2.掌握利用向量法解决实际问题，如：力的大小、速度、位移、做功等问题. 3.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法. 4.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题. 5.熟练掌握余弦定理及其变形形式. 6.能利用余弦定理解决有关三角形的恒等式化简、证明及形状判断等问题. 7.掌握正弦定理的内容及其证明方法. 8.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题． 9.能利用正弦、余弦定理解决有关三角形的恒等式化简、证明及形状判断等问题. 10.学会根据条件特点选择正弦、余弦定理解决一些和三角函数、向量有关的综合问题. 11.学会利用三角形中的隐含条件.掌握用两边夹角表示的三角形面积公式. 12.会用正弦、余弦定理解决生产实践中有关不可到达点距离的测量问题. 解读：1.通过本节课的学习，要求能向量方法这一工具解决与平面几何、三角函数、物理学中的相关问题，使得问题的处理简便. 2.通过本节课的学习，要求理与掌握余弦定理的内容及公式特点，会用余弦定理解三角形，并能准确应用余弦定理进行恒等式的证明与判断三角形形状的问题的解决. 3.通过本节课的学习，要求能利用正弦定理解决与三角形边、角、周长、面积等问题，能结合余弦定理及三角函数的相关知识解决与三角函数有关的综合问题. 4.通过本节课的学习，要求利用好三角形中的边的关系，角的关系，边角的关系中的隐含条件，结合给定三角形的条件选择恰当的方法求解三角形中的边、角、周长、面积；解决三角形与三角函数、向量、及平面几何相关联的综合问题；并能解决与实际问题相关联的距离、高度、角度、面积等问题. 知识点1　 向量在平面几何中的应用★★☆ 1．利用向量研究平面几何问题的思想 向量集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性，因此，用向量解决平面几何问题，就是将几何的证明问题转化为向量的运算问题，将“证”转化为“算”，思路清晰，便于操作． 2．向量在平面几何中常见的应用 已知． （1）证明线段平行、点共线问题及相似问题，常用向量共线的条件： ． （2）证明线段垂直问题，如证明四边形是正方形、矩形，判断两直线（或线段）是否垂直等，常用向量垂直的条件：（其中为非零向量）． （3）求夹角问题，若向量与的夹角为，利用夹角公式： （其中为非零向量）． （4）求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模： ，或（其中两点的坐标分别为． （5）对于有些平面几何问题，如载体是长方形、正方形、直角三角形等，常用向量的坐标法，建立平面直角坐标系，把向量用坐标表示出来，通过代数运算解决综合问题． 3．利用向量解决平面几何问题的步骤 （1）建立平面几何与向量之间的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何关系． 这其实也是用向量法解决其他问题的思路，即从条件出发，选取基底，把条件翻译成向量关系式（用基底表示其他向量），然后通过一系列的向量运算，得到新的向量关系式，则这个新的向量关系式的几何解释就是问题的结论． 知识点2　 利用向量方法解决物理问题★☆☆ 向量在物理中的应用 向量是在物理的背景下建立起来的，物理中的一些量，如位移、力、速度（加速度）、功等都与向量有着密切的联系，因此可以利用向量来解决物理中的问题．具体操作时，要注意将物理问题转化为向量关系式，通过向量的运算来解决，最后用来解释物理现象． 1．向量与力 向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但是力的三要素是大小、方向和作用点，所以用向量知识解决力的问题，通常要把向量平移到同一作用点上． 2．向量与速度、加速度及位移 速度、加速度与位移的合成与分解，实质上就是向量的加减法运算．解决速度、加速度和位移等问题时，常用的知识主要是向量的加法、减法以及数乘运算，有时也借助于坐标运算来处理． 3．向量与功、动量 力做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，实质是力和位移两个向量的数量积，为和的夹角）．动量实际上是数乘向量． 【例题精析1】 在四边形中，若，则四边形为（    ） A．正方形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形 【解答】由，可得，即，则四边形为平行四边形；又由，可得，则平行四边形四边形为菱形故选：D 【例题精析2】 若平面四边形ABCD满足：，，则该四边形一定是（    ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【解答】，,所以四边形ABCD为平行四边形，, ， 所以BD垂直AC，所以四边形ABCD为菱形.故选：B 【例题精析3】 已知平面四边形中，，向量的夹角为