6.2.2 排列数（教案）-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

第六章 计数原理 6.2.2 排列数 教学设计 一、教学目标 1.理解排列数的概念 2.能利用计数原理推导排列数公式，并掌握排列数公式及其变形，能运用排列数公式熟练地进行相关计算. 3.能利用排列数公式解决一些有关排列的实际问题. 二、教学重难点 1、教学重点 排列数公式及其变形. 2、教学难点 排列数公式的相关计算. 三、教学过程 （一）新课导入 教师：上节课我们学习了排列的定义，这节课我们就来一起探究计算排列个数的公式. （二）探索新知 探究一：排列数 我们把从n个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示. 探究二：排列数公式 思考：从n个不同元素中取出m个元素的排列数是多少？ 可以先从特殊情况开始探究，例如求排列数. 假定有排好顺序的两个空位，从n个不同元素中取出2个元素去填空，一个空位填上一个元素，每一种填法就得到一个排列；反之，任何一种排列总可以由这种填法得到. 因此，所有不同填法的种数就是排列数. 现在来计算有多少种填法. 完成“填空”这件事可以分为两个步骤完成： 第1步，填第1个位置的元素，可以从这n个不同元素中任选1个，有n种选法； 第2步，填第2个位置的元素，可以从剩下的个元素中任选1个，有种选法. 根据分步乘法计数原理，2个空位的填法种数为. 同理，求排列数可以按依次填3个空位来考虑，有. 一般地，求排列数可以按依次填m个空位来考虑： 假定有排好顺序的m个空位如图，从n个不同元素中取出m个元素去填空，一个空位填上一个元素，每一种填法就对应一个排列. 因此，所有不同填法的种数就是排列数. 填空可以分为m个步骤完成： 第1步，从n个不同元素中任选1个填在第1位，有n种选法； 第2步，从剩下的个元素中任选1个填在第2位，有种选法； 第3步，从剩下的个元素中任选1个填在第3位，有种选法； …… 第步，从剩下的个元素中任选1个填在第m位，有种选法. 根据分步乘法计数原理，m个空位的填法种数为. 这样，我们就得到公式. 这里m，，并且.这个公式叫做排列数公式. 根据排列数公式，我们就能方便地计算出从n个不同元素中取出个元素的所有排列的个数. 特别地，我们把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列. 这时，排列数公式中，即有. 也就是说，将n个不同的元素全部取出的排列数，等于正整数1到n的连乘积. 正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用表示，于是，n个元素的全排列数公式可以写成. 另外，我们规定，. 例1计算：(1)；(2)；(3)；(4). 解：根据排列数公式，可得 (1)； (2)； (3)； (4). 总结：.因此，排列数公式还可以写成. 探究三：排列数公式的实际应用 例2 用0~9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 分析：在0~9这10个数字中，因为0不能在百位上，而其他9个数字可以在任意数位上，因此0是一个特殊的元素. 一般地，我们可以从特殊元素的位置入手来考虑问题. 解法一：如图所示，由于三位数的百位上的数字不能是0，所以可以分两步完成： 第1步，确定百位上的数字，可以从1~9这9个数字中取出1个，有种取法； 第2步，确定十位和个位上的数字，可以从剩下的9个数字中取出2个，有种取法. 根据分步乘法计数原理，所求的三位数的个数为. 解法二：如图所示，符合条件的三位数可以分成三类：第1类，每一位数字都不是0的三位数，可以从1~9这9个数字中取出3个，有种取法；第2类，个位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和十位，有种取法；第3类，十位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和个位，有种取法. 根据分类加法计数原理，所求的三位数的个数为. 解法三：从0~9这10个数字中选取3个的排列数为，其中0在百位上的排列数为，它们的差就是用这10个数组成的没有重复数字的三位数的个数，即所求三位数的个数为. （三）课堂练习 1.已知，则( ) A.11 B.12 C.13 D.14 答案：B 解析：，整理得，解得或（不合题意，舍去），的值