第四章 因式分解-【题型·技巧培优系列】2022-2023学年八年级数学下册同步精讲精练(北师大版)

第4章 因式分解 知识点一 因式分解的定义 1．定义：把一个多项式化成几个既约整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式． 2．因式分解结果的要求： 因式分解结果的标准形式 常见典型错误或者不规范形式 符合定义，结果一定是乘积的形式 既约整式，不能含有中括号 最后的因式的不能再次分解 单项式因式写在多项式因式的前面 相同的因式写成幂的形式 每个因式第一项系数一般不为负数 每个因式第一项系数一般不为分数 因式中不能含有分式 因式中不能含有无理数 知识点二 提公因式法 几个整式都含有的因式称为它们的公因式． 例如： 把每项的公因式，包括数和字母全部提出，当然有的时候把一个式子看成一个整体． 知识点三 公式法 因为因式分解和整式的乘法是互逆的，所以说常见的乘法公式要特别熟悉． 平方差公式 完全平方公式： 拓展公式： 立方差公式： 立方和公式： 知识点四 分组分解法 一般地，分组分解大致分为三步： i．将原式的项适当分组； ii．对每一组进行处理（“提”或“代”）； iii．将经过处理的每一组当作一项，再采用“提”或“代”进行分解． 知识点五 十字相乘法 已知，那么将因式分解，则结果为． 例：因式分解： 或 ∴原式 问题：二次三项式如何因式分解？ 十字相乘法小口诀：首尾分解，交叉相乘， 实验筛选，求和凑中． 十字相乘法适用类型：二次三项式 二次三项齐次式 例：因式分解： 或 ∴原式 特殊地，如果，则必有因式； 如果，则必有因式． 题型一 因式分解的意义 【例题1】（2022秋•许昌期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是　　 A． B． C． D． 解题技巧提炼 本题考查的是因式分解，熟知把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式是解题的关键． 【变式1-1】（2022秋•惠民县校级期末）判断下列各式从左到右的变形，其中不是因式分解的是　　 A． B． C． D． 【变式1-2】（2022秋•天山区校级期末）下列等式从左到右的变形属于因式分解的是　　 A． B． C． D． 【变式1-3】（2022秋•黄浦区期中）下列等式中，从左到右的变形是多项式的因式分解的是　　 A． B． C． D． 题型二 因式分解——提公因式法 【例题2】（2022秋•辉县市校级月考）把多项式因式分解，结果正确的是　　 A． B． C． D． 解题技巧提炼 本题考查了因式分解的提公因式法和公式法，解题关键是熟练掌握因式分解的方法． 【变式2-1】（2022秋•阿瓦提县期末）分解因式：　 　． 【变式2-2】（2022秋•南宁期中）分解因式：　　． 【变式2-3】（2022秋•海淀区校级期中）分解因式：； 题型三 因式分解——公式法 【例题3】（2022秋•霸州市校级期末）若多项式能用完全平方公式分解因式，则的值是　　 A．2 B． C． D． 解题技巧提炼 本题考查因式分解，熟练掌握完全平方公式的基本形式是解题的关键． 【变式3-1】（2022秋•徐汇区期末）分解因式：　 　． 【变式3-2】（2021秋•咸丰县期末）将下列各式分解因式： （1）； （2）． 【变式3-3】（2022秋•南关区校级期末）分解因式： （1）； （2）． 题型四 因式分解——分组分解法 【例题4】（2022秋•徐汇区期末）分解因式：　　． 解题技巧提炼 本题主要考查了整式的因式分解，掌握因式分解的公式法是解决本题的关键． 【变式4-1】（2022春•澧县期末）分解因式：　 　． 【变式4-2】（2022•沂南县一模）分解因式　 　． 【变式4-3】（2021秋•普陀区期末）因式分解：　 　． 题型五 因式分解——十字相乘 【例题5】（2022秋•徐汇区期末）分解因式： （1）； （2）． 解题技巧提炼 本题主要考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法是解决本题的关键． 【变式5-1】（2022秋•和平区校级期末）分解因式： （1）； （2）． （3）． 【变式5-2】（2022秋•和平区校级期末）因式分解： （1）　　； （2）； （3）． 【变式5-3】（2022秋•滨海新区校级期末）因式分解： （1）； （2）． 题型六 因式分解求值 【例题6】（2022秋•淮北月考）已知：，，则　　 A．4 B．3 C．2 D．1 解题技巧提炼 本题考查了代数式求值，因式分解的应用，掌握代数式求值的方法是关键． 【变式6-1】（2022秋•九龙坡区校级月考）