4.1 认识三角形-【题型·技巧培优系列】2022-2023学年七年级数学下册同步精讲精练(北师大版)

4.1 认识三角形 知识点一 三角形的概念 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 知识点二 三角形的分类 按边分类：三角形 按角分类：三角形 知识点三 三角形的内角和内角和定理 三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． 三角形内角和定理：三角形内角和是180°． 知识点四 直角三角形的性质 直角三角形两个内角互余． 知识点五 三角形的三遍关系 三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边. 在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 知识点六 三角形的三条重要线段 （1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． （2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线． （3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． （4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段． （5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 题型一 认识三角形 【例题1】（2022秋•玉州区期中）如图所示的图形中，三角形共有　　 A．5个 B．6个 C．3个 D．4个 解题技巧提炼 此题考查三角形，关键是根据三角形的概念数出个数解答． 【变式1-1】三角形按边分类可以用集合来表示，如图所示，图中小椭圆圈里的A表示（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【变式1-2】（2022•南岗区校级开学）满足下列条件的三角形是等边三角形的个数是　　 ①有两个角是的三角形；②有两个外角相等的等腰三角形：③三个外角（每个顶点处取一个外角）都相等的三角形；④一边上的高也是这边中线的等腰三角形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-3】（2022秋•路南区期中）观察下列图形，其中是三角形的是　　 A． B． C． D． 题型二 三角形的内角和定理 【例题2】（2022秋•宜州区期中）已知中，，则图中的度数为　　 A． B． C． D． 解题技巧提炼 本题考查了三角形内角和定理和四边形的内角和定理．知道剪去三角形的一个角后得到一个四边形，根据四边形的内角和定理求解是解题的关键． 【变式2-1】（2022秋•渝北区校级期中）如图，、都是的角平分线，且，则　　 A． B． C． D． 【变式2-2】将一副三角板如图放置，则图中的∠1＝　 　°． 【变式2-3】定义：当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的一个内角为30°，那么这个“特征角”α的度数为　 　． 题型三 直角三角形的性质 【例题3】（2022春•相城区校级期中）如图，的角平分线、相交于，，，且于，下列结论：①；②；③；④平分．其中正确的结论是　　 A．③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 解题技巧提炼 本题主要考查的是平行线、角平分线、三角形内角和定理，解题的关键是熟知直角三角形的两锐角互余． 【变式3-1】（2022秋•威县校级月考）有一道题目：“如图，在中，，将沿折叠，使得点落在边上的点处，若，且中有两个内角相等，求的度数．”嘉嘉的答案是，淇淇说：“嘉嘉考虑的不全面，还应该有另外一个值．”下列判断正确的是　　 A．淇淇说的不对，就是 B．淇淇说得对，且的另一个值是 C．淇淇说得对，且的另一个值是 D．两人都不对，应有三个不同值 【变式3-2】（2022秋•东莞市校级期中）在一个直角三角形中，一个锐角等于，则另一个锐角的度数是　　 A． B． C． D． 【变式3-3】（2022秋•崇川区期中）如图，在中，，沿折叠，使点恰好落在边上的点处，若，则等于 　　． 题型四 三角形三条重要线段 【例题4】（2022秋•巴南区校级期中）下列说法中正确的是　　 A．平分三角形内角的射线叫做三角形的角平分线 B．三角形的中线是经过顶点和对边中点的直线 C．钝角三角形的三条高都在三角形外 D．三角形的三条中线总在三角形内 解题技巧提炼 本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高；三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线；三角形一边的中点与此边所对顶点的