18.2.3 正方形-2022-2023学年八年级数学下册同步重难点精讲精练培优讲义（人教版）

2022-2023学年人教版数学八年级下册同步重难点精讲精练培优讲义 18.2.3 正方形 1．理解正方形的概念，了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系； 2．掌握正方形的性质及判定方法． 知识点01：正方形的定义 四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 要点诠释：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形. 知识点02：正方形的性质 正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质. 1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行； 2.角——四个角都是直角； 3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角； 4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心. 要点诠释：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形. 知识点03：正方形的判定 正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）. 知识点04：特殊平行四边形之间的关系 或者可表示为： 知识点05：顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状 （1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. （2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形. （3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形. （4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形. 要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成. （1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形. （2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形. （3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形. 【典例分析01】（2022八下·任丘期末）把8个边长为1的正方形按如图所示摆放在直角坐标系中，经过原点O的直线l将这8个正方形分成面积相等的两部分，则该直线的函数表达式是 　 　． 【答案】y＝x或y＝0.9x 【规范解答】解：如图，过A作AB⊥y轴，垂足为点B，则OB＝3， ∵经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分， ∴S△AOB＝4+1＝5， ∵OB＝3， ∴AB•3＝5， 解得：AB＝， ∴A点坐标为（，3）， 设直线方程为y＝kx， 则3＝k， ∴k＝， ∴直线l解析式为y＝x． 故答案为：y＝x． 【思路引导】过A作AB⊥y轴，垂足为点B，则OB＝3，由于经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，可得S△AOB＝5=×AB·OB，据此求出AB＝，即得A（，3），利用待定系数法求出直线l解析式即可. 【典例分析02】（2022八下·范县期末）如图，已知正方形的边长为4，点P是对角线上一点，于点E，于点F，连接．给出下列结论： ①；②四边形的周长为8； ③；④；⑤的最小值为． 其中正确结论的序号为（　　） A．①②③⑤ B．②③④ C．②③④⑤ D．②③⑤ 【答案】C 【规范解答】①∵PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，CD⊥BC， ∴PF∥BC， ∴∠DPF＝∠DBC， ∵四边形ABCD是正方形 ∴∠DBC＝45° ∴∠DPF＝∠DBC＝45°， ∴∠PDF＝∠DPF＝45°， ∴PF＝EC＝DF， 在Rt△DPF中，DP2＝DF2+PF2＝DF2+DF2＝2DF2， ∴PD＝DF ∴PD=． 故①不符合题意； ②∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD＝90°， ∴四边形PECF为矩形， 又∵PE=CE ∴四边形PECF的周长＝2CE+2PE＝2CE+2BE＝2BC＝8， 故②符合题意； ③如图1 延长FP交AB于G，延长AP交EF于H， 在正方形ABCD中， ∴CD∥AB 又∵PF⊥于CD ∴∠AGP=90°； 由②知四边形PECF是矩形， ∴∠EPF=90° ∴∠AGP=∠EPF； 由①知PF=DF， 又∵AG=DF ∴AG=PF ∴四边形BGPE是正方形， ∴PG=PE ∴△AGP≌△FPE ∴∠BAP=∠PFE 又∵∠APG=∠FPH，∠BAP与∠APG互余 ∴∠FPH与∠PFE互余 ∴∠PHF=90°即AP⊥EF 故③符合题意； ④由③知，△AGP≌△FPE ∴AP=EF 故④符合题意； ⑤当时，AP最小； ∴EF的最小值为．故⑤符合题意． 综上：②③④⑤符合题意． 故答案为：C． 【思路引导】结合图形，利用正方形的性质，勾股定理等计算求解即可。 【随堂演练01】（2022八下·抚远期末）如图，正方形的边长为1，，是对角线，将绕点顺时针旋转45°得到，交于点，连接交于点，连接，则下