18.2.2 菱形-2022-2023学年八年级数学下册同步重难点精讲精练培优讲义（人教版）

2022-2023学年人教版数学八年级下册同步重难点精讲精练培优讲义 18.2.2 菱形 1. 理解菱形的概念. 2. 掌握菱形的性质定理及判定定理． 知识点01：菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 要点诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件. 知识点02：菱形的性质 菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质： 1.菱形的四条边都相等； 2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心. 要点诠释：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分. （2）菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半. （3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题. 知识点03：菱形的判定 菱形的判定方法有三种： 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 3.四条边相等的四边形是菱形. 要点诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等. 【典例分析01】（2022八下·巴彦期末）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E为AC上一点，连接DE，AB＝CE＝5AE，BD＝8，则DE的长为　 　． 【答案】2 【规范解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AO＝CO，AB＝CD，DO＝BO，AC⊥BD， 设AE＝x，则AB＝CE＝5x， ∴CO＝AC＝3x， 在Rt△COD中，由勾股定理得，OD＝4x， ∴4x＝4， ∴x＝1， ∴OD＝4，AE＝1，CE＝5， ∴OE＝2， 在Rt△ODE中，由勾股定理得， DE＝＝， 故答案为：2． 【思路引导】根据题意先求出OD＝4，AE＝1，CE＝5，再利用勾股定理计算求解即可。 【典例分析02】（2022八下·巴彦期末）若一个菱形的两条对角线长分别为10和24，则这个菱形的边长是　 　． 【答案】13 【规范解答】解：如图，BD＝10，AC＝24， ∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝AC＝12，OB＝BD＝5，AC⊥BD， ∴AB＝＝13． 故答案为：13． 【思路引导】利用菱形的性质和勾股定理计算求解即可。 【随堂演练01】（2022八下·铁东期末）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BD＝6，AC＝8，E是CD的中点，则OE的长是（　　） A．2.5 B．3 C．4 D．5 【随堂演练02】（2022八下·顺平期末）如图，在菱形中，，对角线，则菱形的周长是　 　，面积是　 　． 【典例分析03】（2022八下·威县期末）如图，在中，点D，点E分别是边AC，AB的中点，点F在线段DE上，交BC于点G． （1）证明：四边形EFGB是菱形； （2）若，求DF的长度． 【答案】（1）解：∵点D，点E分别是边AC，AB的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴，∵， ∴四边形BEFG是平行四边形， ∵∠AFB=90°，点E是AB的中点， ∴FE=BE=AB，∴四边形EFGB是菱形； （2）解：∵点D，点E分别是边AC，AB的中点， ∴DE是△ABC的中位线，∴DE=BC=×19= 在△ABF中，∵∠AFB=90°，∴AF2+BF2=AB2， ∵AF=5，BF=12， ∴AB=13 ∴EF=AB=×13= ， ∴DF=DE－EF=－=3 【思路引导】（1）利用菱形的判定方法证明求解即可； （2）先求出 DE是△ABC的中位线， 再求出 AF2+BF2=AB2， 最后计算求解即可。 【典例分析04】（2022八下·巴彦期末）在四边形ABCD中，ADBC，AD＝BC，BD平分∠ABC． （1）如图1，求证：四边形ABCD是菱形； （2）如图2，连接AC，过点D作DE⊥BD交BC延长线于点E，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有与CDE面积相等的三角形（CDE除外）． 【答案】（1）证明：∵AD∥BC，AD＝BC，∴ABCD为平行四边形，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD，∴四边形ABCD为菱形； （2）解：∵DE⊥BD，AC⊥BD，∴AC∥DE，∵AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形，∴BC＝AD＝CE，∴图中所有与△