6.3 二项式定理-【精彩三年】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第三册课程探究与巩固教师用书word（人教A版）

6.3　二项式定理 6．3.1　二项式定理 [课程目标] 1.能用计数原理证明二项式定理.2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． (见学生用书P20) 知识点　二项式定理 二项式定理 (a＋b)n＝__Can＋Can-1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn__(n∈N*) 二项展开式 公式右边的式子 二项式系数 __C(k＝0，1，2，…，n)__ 二项展开式的通项 Tk＋1＝__Can－kbk__ [研读](1)通项Tk＋1＝Can－kbk是(a＋b)n的展开式的第(k＋1)项，这里k＝0，1，2，…，n. (2)字母a，b是一种“符号”，可以是数、式或其他，只要具备二项式的形式，就可以用二项式定理写出其展开式，如(x＋y)n的展开式的通项为Tk＋1＝Cxn－kyk，(a－b)n的展开式的通项为Tk＋1＝Can－k(－b)k＝(－1)kCan－kbk. (3)(a＋b)n的第(k＋1)项Can－kbk与(b＋a)n的第(k＋1)项Cbn－kak是有区别的，应用二项式定理时，其中的a和b不能随便交换． (4)二项式系数都是组合数C(k∈{0，1，2，…，n})，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项展开式中“项的系数”这两个概念． 判断正误(请在括号中打“√”或“×”). (1)(a＋b)12展开式中共有12项．(　×　) (2)在(2x＋1)5的展开式中，二项式系数就是展开式系数．(　×　) (3)Can－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项．(　×　) (4)(x－2y)6与(x＋2y)6的二项展开式的二项式系数相同．(　√　) (见学生用书P21) 　　 类型一 二项式定理的正用与逆用 例1　(1)的展开式为__81x2＋108x＋54＋＋__． (2)已知(1＋2x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a1－2a2＋3a3－4a4＝__－8__． (3)化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1) ＝__x5－1__． 【解析】 (1)＝C(3)4＋C(3)3·＋C(3)2＋C(3)＋C＝81x2＋108x＋54＋＋. (2)因为Tr＋1＝2rCxr，所以a1＝21C＝8，a2＝22C＝24，a3＝23C＝32，a4＝24C＝16，所以a1－2a2＋3a3－4a4＝－8. (3)原式＝C(x－1)5＋C(x－1)4＋C(x－1)3＋C(x－1)2＋C(x－1)＋C－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1. [规律方法] 运用二项式定理解题的策略 (1)正用．求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂．形如(a－b)n的展开式中会出现正负间隔的情况．对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开． (2)逆用．逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点，项数、各项幂指数的规律以及各项的系数． 活学活用 化简(x－2)4－4(x－2)3＋6(x－2)2－4(x－2)＋1的结果为(　A　) A．(x－3)4 B．(x－2)4 C．(x－1)4 D．(x＋1)4 【解析】 原式＝C(x－2)4＋C(x－2)3(－1)1＋C(x－2)2(－1)2＋C(x－2)(－1)3＋C(x－2)0(－1)4＝[(x－2)－1]4＝(x－3)4. 　　 例2　已知展开式中第三项的系数比第二项的系数大162，求： (1)n的值； (2)展开式中含x3的项． 解： (1)因为T3＝C()n-2＝4Cx， T2＝C()n-1＝－2Cx， 依题意得4C＋2C＝162，所以2C＋C＝81， 所以n2＝81，由n∈N*得n＝9. (2)展开式的通项为Tr＋1＝C()9-r＝(－2)rCx， 由＝3，得r＝1，所以第二项为含x3的项， T2＝－2Cx3＝－18x3. [规律方法] (1)求二项展开式中特定项的步骤 (2)正确区分二项式系数与项的系数 二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，后者与二项式、二项式的指数及项数均有关． 活学活用 已知n展开式中，第三项的系数与第四项的系数相等． (1)求n的值； (2)求展开式中有理项的系数之和(用数字作答). 解： (1)由题意，二项展开式的通项公式为Tk＋1＝Cn－kk＝C2n－kxn－． 所以第三项的系数为C2n-2，第四项的系数为C2n-3. 由C2n-2＝C2n-3，解得n＝8，即n的值为8. (2)由(1)知，Tk＋1＝C28-kx8-. 当k＝0，3，6时，对应的是有理项． 当k＝0