6.2 排列与组合-【精彩三年】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第三册课程探究与巩固教师用书word（人教A版）

6.2　排列与组合 6．2.1　排列 6．2.2　排列数 第2课时　排列的综合应用 [课程目标] 1.进一步加深对排列概念的理解.2.掌握几种有限制条件的排列，能应用排列数公式解决简单的实际问题． (见学生用书P9) 知识点　求解排列问题的主要方法 1．直接法：把符合条件的排列数直接列式计算． 2．优先法：优先安排特殊元素或特殊位置． 3．捆绑法：把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列． 4．插空法：对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空中． 5．定序问题除法处理：对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列． 6．间接法：正难则反，等价转化的方法． 应用排列与排列数公式求解实际问题中的计数问题的基本步骤 (见学生用书P10) 　　 类型一 无限制条件的排列问题 例1　(1)有6本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有__120__种不同的送法． (2)有3名大学毕业生，到5家公司应聘，若每家公司至多招1名新员工，且3名大学生全部被聘用，若不允许兼职，则共有__60__种不同的招聘方案． 【解析】 (1)从6本不同的书中选3本送给3名同学，相当于从6个元素中任取3个元素的一个排列，所以共有A＝6×5×4＝120(种)不同的送法． (2)将5家公司看作5个不同的位置，从中任选3个位置给3名大学生，则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题，所以不同的招聘方案共有A＝60(种). [规律方法] 典型的排列问题，用排列数计算其排列方法数；若不是排列问题，需用计数原理求其方法种数．排列的概念很清楚，要从“n个不同的元素中取出m个元素”，即在排列问题中元素不能重复选取，而在用分步乘法计数原理解决的问题中，元素可以重复选取． 活学活用 从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是(　C　) A．9 B．10 C．18 D．20 【解析】 首先从1，3，5，7，9这五个数中任取两个不同的数排列，共有A＝20(种)排法， 因为＝，＝，所以从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是20－2＝18. 　　 类型二 排队问题 命题角度1　元素“相邻”与“不相邻”问题 例2　3名男生、4名女生按照不同的要求排队，求不同的排队方法的种数． (1)全体站成一排，男、女各站在一起； (2)全体站成一排，男生必须站在一起； (3)全体站成一排，男生不能站在一起； (4)全体站成一排，男、女各不相邻． 解： (1)男生必须站在一起是男生的全排列，有A种排法； 女生必须站在一起是女生的全排列，有A种排法； 全体男生、女生各视为一个元素，有A种排法． 由分步乘法计数原理知，共有A·A·A＝288(种)排队方法． (2)三个男生全排列有A种方法，把所有男生视为一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，有A种排法．故有A·A＝720(种)排队方法． (3)先安排女生，共有A种排法，男生在4个女生隔成的五个空中安排，共有A种排法，故共有A·A＝1 440(种)排法． (4)排好男生后让女生插空，共有A·A＝144(种)排法． [规律方法] 处理元素“相邻”与“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则．元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列．元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素． 活学活用 (1)小涛、小江、小玉与本校的另外2名同学一同参加《中国诗词大会》的决赛，5人坐成一排，若小涛与小江、小玉都相邻，则不同坐法的总数为(　B　) A．6 B．12 C．18 D．24 (2)某节目组决定把《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另外确定的两首诗词排在后六场做节目开场诗词，并要求《将进酒》与《望岳》相邻，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻，且均不排在最后，则后六场开场诗词的排法有(　C　) A．72种 B．48种 C．36种 D．24种 【解析】 (1)将小涛与小江、小玉捆绑在一起，与其他两个人全排列，其中小涛位于小江、小玉之间，按照分步乘法计算原理可得，不同的坐法总数为A·A＝12. (2)首先可将《将进酒》与《望岳》捆绑在一起和另外确定的两首诗词进行全排列，共有A＝6(种)排法，再将《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》插排在3个空里(最后一个空不排)，共