6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理-【精彩三年】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第三册课程探究与巩固教师用书word（人教A版）

6．1　分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第1课时　分类加法计数原理与分步乘法计数原理 [课程目标] 1.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理.2.会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题． (见学生用书P1) 知识点一　分类加法计数原理 完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事共有N＝__m1＋m2＋…＋mn__种不同的方法． 知识点二　分步乘法计数原理 完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事共有N＝__m1×m2×…×mn__种不同的方法． [研读]应用分步乘法计数原理要注意的问题 (1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，单独用题目中所给的某种方法是不是能完成这件事，也就是说是否必须要经过几步才能完成这件事；(2)完成这件事要分若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少任一步，这件事都不可能完成；(3)根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这几步逐步地去做，才能完成这件事，各步骤之间既不能重复，也不能遗漏． 判断正误(请在括号中打“√”或“×”). (1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．(　×　) 【解析】 在分类加法计数原理中，分类标准是统一的，两类不同方案中的方法是不能相同的． (2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事．(　√　) 【解析】 在分类加法计数原理中，是把能完成这件事的所有方法按某一标准分类的，故每类方案中的方法都能完成这件事． (3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．(　√　) 【解析】 在分步乘法计数原理中的每一步都有多种方法，而每种方法各不相同． (4)在分步乘法计数原理中，事情若是分两步完成的，那么其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有两个步骤都完成后，这件事情才算完成．(　√　) 【解析】 在分步乘法计数原理中，要完成这件事需分两步，而每步都不能完成这件事，只有各步都完成了，这件事才算完成． (5)从甲地到丙地途中经过乙地是分步问题.(　√　) (见学生用书P1) 　　 类型一 利用分类加法计数原理解题 例1　(1)设集合A＝{1，2，3，4}，m，n∈A，则方程＋＝1表示焦点位于x轴上的椭圆有(　A　) A．6个 B．8个 C．12个 D．16个 (2)某教师有相同的语文参考书3本，相同的数学参考书4本，从中取出4本赠送给4位学生，每位学生1本，则不同的赠送方法共有(　B　) A．20种 B．15种 C．10种 D．4种 【解析】 (1)因为椭圆的焦点在x轴上，所以m>n.当m＝4时，n＝1，2，3；当m＝3时，n＝1，2；当m＝2时，n＝1，即所求的椭圆共有3＋2＋1＝6(个). (2)若4本中有3 本语文参考书和1 本数学参考书，则有4种方法；若4本中有1本语文参考书和3本数学参考书，则有4种方法；若4本中有2本语文参考书和2本数学参考书，则有6种方法；若4本都是数学参考书，则有1种方法．所以不同的赠送方法共有4＋4＋6＋1＝15(种). [规律方法] 应用分类加法计数原理解题时要注意以下三点 (1)明确题目中所指的“完成一件事”指的是什么事，怎样才算是完成这件事． (2)完成这件事的n类方案中的各种方法是互不相同的，无论哪类方案中的哪种方法都可以单独完成这件事． (3)确定恰当的分类标准，这个“标准”必须满足：①完成这件事情的任何一种方法必须属于其中的一类；②不同两类中的两种方法不能相同，即不重复、无遗漏． 活学活用 (1)满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为(　A　) A．13 B．12 C．11 D．10 (2)由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数字可组成的个位数字大于十位数字的两位偶数共有(　C　) A．12个 B．14个 C．16个 D．18个 【解析】 (1)由已知得ab≤1. 若a＝－1，则b＝－1，0，1，2，有4种可能； 若a＝0，则b＝－1，0，1，2，有4种可能； 若a＝1，则b＝－1，0，1，有3种可能； 若a＝2，则b＝－1，0，有2种可能．所以有序数对(a，b)的个数为4＋4＋3＋2＝13.故选A. (2)由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数字可组成的个位数字大于十位数字的两位偶数分以下四类： 个位数字是2的有1个：12； 个位数字是4的有3个：14，24，34； 个位数字是6的有5个：16