题型方法 真题分类卷(七)]-【精彩三年】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第三册课程探究与巩固教师用书word（人教A版）

题型方法·真题分类卷(七)(见学生用书P125) 　　 类型一 随机事件的概率、条件概率 1．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是(　C　) A．62% B．56% C．46% D．42% 2．2022·新高考Ⅱ卷在某地区进行流行病调查，随机调查了100名某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据频率分布直方图． (1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； (2)估计该地区一人患这种疾病年龄在区间[20，70)的概率； (3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40，50)的人口占该地区总人口的16%，从该地区任选一人，若此人年龄位于区间[40，50)，求此人患该种疾病的概率．(样本数据中的患者年龄位于各区间的频率作为患者年龄位于该区间的概率，精确到0.000 1) 解： (1)平均年龄＝(5×0.001＋15×0.002＋25×0.012＋35×0.017＋45×0.023＋55×0.020＋65×0.017＋75×0.006＋85×0.002)×10＝47.9(岁). (2)设A＝{一人患这种疾病的年龄在区间[20，70)}，所以 P(A)＝1－P()＝1－(0.001＋0.002＋0.006＋0.002)×10＝1－0.11＝0.89. (3)设B＝{任选一人年龄位于区间，C＝{任选一人患这种疾病}， 则由条件概率公式可得 P(C|B)＝＝＝＝0.001 437 5≈0.001 4. 　　 类型二 离散型随机变量的均值与方差 3．在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为p1，p2，p3，p4，且i＝1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是(　B　) A．p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4 B． p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1 C．p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3 D．p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2 【解析】 对于选项A，该组数据的平均数为A＝(1＋4)×0.1＋(2＋3)×0.4＝2.5， 方差为s＝(1－2.5)2×0.1＋(2－2.5)2×0.4＋(3－2.5)2×0.4＋(4－2.5)2×0.1＝0.65； 对于选项B，该组数据的平均数为B＝(1＋4)×0.4＋(2＋3)×0.1＝2.5， 方差为s＝(1－2.5)2×0.4＋(2－2.5)2×0.1＋(3－2.5)2×0.1＋(4－2.5)2×0.4＝1.85； 对于选项C，该组数据的平均数为C＝(1＋4)×0.2＋(2＋3)×0.3＝2.5， 方差为s＝(1－2.5)2×0.2＋(2－2.5)2×0.3＋(3－2.5)2×0.3＋(4－2.5)2×0.2＝1.05； 对于选项D，该组数据的平均数为D＝(1＋4)×0.3＋(2＋3)×0.2＝2.5， 方差为s＝(1－2.5)2×0.3＋(2－2.5)2×0.2＋(3－2.5)2×0.2＋(4－2.5)2×0.3＝1.45. 因此，B选项这一组标准差最大． 4．设0<p<1，随机变量X的分布列是 X 0 1 2 P 则当p在(0，1)内增大时，(　D　) A．D(X)减小 B．D(X)增大 C．D(X)先减小后增大 D．D(X)先增大后减小 【解析】 依题意E(X)＝＋p，所以D(X)＝－p2＋p＋＝－＋，所以当p在(0，1)内增大时，D(X)先增大后减小． 5．[多选题]信息熵是信息论中的一个重要概念．设随机变量X所有可能的取值为1，2，…，n，且P(X＝i)＝pi>0(i＝1，2，…，n)，i＝1，定义X的信息熵H(X)＝－ilog2pi.(　AC　) A．若n＝1，则H(X)＝0 B．若n＝2，则H(X)随着p1的增大而增大 C．若pi＝(i＝1，2，…，n)，则H(X)随着n的增大而增大 D．若n＝2m，随机变量Y所有可能的取值为1，2，…，m，且P(Y＝j)＝pj＋p2m＋1－j(j＝1，2，…，m)，则H(X)≤H(Y) 【解析】 对于选项A，若n＝1，则i＝1，p1＝1，所以H(X)＝－(1×log21)＝0，所以选项A正确；对于选项B，若n＝2，则i＝1，2，p2＝1－p1， 所以H(X)＝－[p1·log2p1＋(1－p1)·log2(1－p1)]， 当p1＝时，H(X)＝－， 当p1＝时，H(X)＝－，两者相等，所以选项B错误； 对于选项C，若pi＝，则 H(X)＝－×n＝－log2＝log2n， 则H(X)随着n的增大而增大，所以选项C正确； 对于选项D，若n＝2m，随机变量Y的所有可能的取值为1，2