第六章 数学探究 杨辉三角的性质与应用-【精彩三年】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第三册课程探究与巩固教师用书word（人教A版）

数学探究　杨辉三角的性质与应用 如图所示的数字三角形叫做杨辉三角， 杨辉三角的性质：C＝C＋C. 下面为同学们的探究提供一些素材： 1．杨辉三角与组合恒等式 例1　利用杨辉三角验证组合恒等式： (1)C＋C＋C＋…＋C＝C(n>r)； (2)C＋C＋C＋…＋C＝C(n>r). 解： 如图， 第一条斜线上：1＋1＋1＋1＋1＋1＝6＝C， 第二条斜线上：1＋2＋3＋4＋5＝15＝C， 第三条斜线上：1＋3＋6＋10＝20＝C， 第四条斜线上：1＋4＋10＝15＝C， ……， 于是，可得一般形式：在杨辉三角中， 第r条斜线(从右上到左下)上， 前n个数字之和等于第(r＋1)条斜线上的第n个数， 即C＋C＋C＋…＋C＝C(n>r). 根据杨辉三角的对称性，类似可得：杨辉三角中，第r条斜线(从左上到右下)上，前n个数字的和等于第(r＋1)条斜线上第n个数，即C＋C＋C＋…＋C＝C(n>r). 2．杨辉三角与数阵(数列) 例2　观察下列三角形数表： 假设第n行的第二个数为an(n≥2，n∈N*). (1)依次写出第六行的所有数字； (2)归纳出an＋1与an的关系式并求出an的表达式； (3)设anbn＝1，求证：b2＋b3＋…＋bn<2. 解： (1)第六行的数字分别是6，16，25，25，16，6. (2)依题意an＋1＝an＋n(n≥2)，a2＝2， 所以an＝a2＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1) ＝2＋2＋3＋…＋(n－1)＝2＋， 所以an＝n2－n＋1(n≥3). 当n＝2时，a2＝×22－×2＋1＝2， 也满足上式， 所以an＝n2－n＋1(n≥2). (3)因为anbn＝1，所以bn＝<＝2， 所以b2＋b3＋…＋bn<2[＋＋…＋]＝2<2. 3．杨辉三角与斐波那契数列 例3　在杨辉三角中，画出下图所示的一组平行线，从上到下，每条线上的数字之和依次为1，1，2，3，5，8，13，21，…，这就是著名的斐波那契数列． 则下列结论不正确的是(　A　) A．在第9条斜线上，各数之和为55 B．在第n(n≥5)条斜线上，各数自左往右先增大后减小 C．在第n条斜线上，共有个数 D．在第11条斜线上，最大的数是C 4．杨辉三角的应用 例4　如下是某城市的部分街道图，纵横各有五条路，如果从A处走到B处 (只能由北到南，由西向东)，那么不同的走法有__70__种. 例4题图　　 例4答图 【解析】 因为每一个路口往前走都有2种方法，如图，每一个路口所标注的数字就是走到这个路口的走法数，这些数字构成杨辉三角数，所以走到B处的走法共有70种． 1． 观察下列三角形数表，假设第n行的第二个数为an (n≥2，n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝__－(n≥2)__． 【解析】 观察知，数表中第n行的第1个数是，若第n行的第二个数为an (n≥2，n∈N*)，则第(n＋1)行的第二个数为an＋1，依题意有an＋1＝an＋ (n≥2)， 所以a2＝，a3＝a2＋，a4＝a3＋，…，an＝an－1＋.由累加法得 an＝＋＋＋…＋＝＋＝－(n≥3). 当n＝2时，a2＝－＝， 也满足上式，所以an＝－(n≥2). 2．将杨辉三角中的每一个数C都相应地换成分数，得到一个三角形数阵，如图．观察可知，数阵中的每一个数都等于其“脚下”两个数之和，即＝＋.试证明这个等式． 　 　　 　　　 　　　　 　　　　　 ⋮ 证明： 右边＝·＋· ＝·＋· ＝ ＝＝＝左边． 所以＝＋. 3．我们改变杨辉三角的规则，作三项式(1＋x＋x2)n系数三角， (1＋x＋x2)0＝1， (1＋x＋x2)1＝1＋x＋x2， (1＋x＋x2)2＝1＋2x＋3x2＋2x3＋x4， (1＋x＋x2)3＝1＋3x＋6x2＋7x3＋6x4＋3x5＋x6， (1＋x＋x2)4＝1＋4x＋10x2＋16x3＋19x4＋16x5＋10x6＋4x7＋x8， 　…… 探究展开式系数的规律，写出(1＋x＋x2)5的展开式． 解： 从这些等式可知，在(1＋x＋x2)n中， 当n＝0，1，2，3，4，…时， 展开式的系数如下表： 观察(1＋x＋x2)2的展开式可知，系数3等于它顶上的一个数与肩上的两个数之和，系数6，7也具有这样的性质，(1＋x＋x2)4的展开式系数也具有这样的性质，所以(1＋x＋x2)5＝1＋5x＋15x2＋30x3＋45x4＋51x5＋45x6＋30x7＋15x8＋5x9＋x10. 4．求证：13＋23＋33＋…＋n3＝. 证明： k3＝(k－1)k(k＋1)＋k＝6C＋C， 所以13＋23＋33＋…＋n3＝6(C＋C＋…＋C＋C)＋(C＋C＋C＋…＋C) ＝6C＋C＝6×＋＝. 5．在游乐场，有一种如图所示的弹子游戏，小球