7.3 离散型随机变量的数字特征-【精彩三年】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第三册课程探究与巩固教师用书word（人教A版）

7.3　离散型随机变量的数字特征 7．3.1　离散型随机变量的均值 [课程目标] 1.能记住离散型随机变量的均值的意义，会依据分布列求出均值.2.能记住离散型随机变量均值的性质并会应用.3.识记两点分布的均值并会解决与之有关的应用题.4.会利用离散型随机变量的均值意义，解决一些相关的实际问题． (见学生用书P42) 知识点一　离散型随机变量的均值 (1)离散型随机变量的均值 若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则称E(X)＝__x1p1＋x2p2＋…＋xnpn__＝__ipi__为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的__平均水平__． (2)均值的性质 若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，X是随机变量，则 ①Y也是随机变量； ②E(aX＋b)＝__aE(X)＋b__． [研读]对离散型随机变量均值的理解 (1)含义：均值是离散型随机变量的一个重要特征数，反映或刻画的是随机变量取值的平均水平． (2)来源：均值不是通过一次或多次试验就可以得到的，而是在大量的重复试验中表现出来的相对稳定的值． (3)单位：随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位． (4)与平均数的区别：均值是概率意义下的平均值，不同于相应数值的平均数． 知识点二　两点分布的均值 若X服从两点分布，成功概率为p，则E(X)＝__p__． 判断正误(请在括号中打“√”或“×”). (1)随机变量X的数学期望E(X)是个变量，其随X的变化而变化．(　×　) (2)随机变量的均值与样本的平均值相同．(　×　) (3)若随机变量X的数学期望E(X)＝4，则E(2X＋1)＝9.(　√　) (4)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝P(X＝1).(　√　) (见学生用书P42) 　　 类型一 利用定义求随机变量的均值 例1　袋中有4个红球、3个白球，从袋中随机取出4个球．设取出一个红球得2分，取出一个白球得1分，试求得分X的均值． 解： X的所有可能取值为5，6，7，8. X＝5时，表示取出1个红球、3个白球，此时P(X＝5)＝＝； X＝6时，表示取出2个红球、2个白球，此时P(X＝6)＝＝； X＝7时，表示取出3个红球、1个白球，此时P(X＝7)＝＝； X＝8时，表示取出4个红球，此时P(X＝8)＝＝. 所以X的分布列为 X 5 6 7 8 P 所以E(X)＝5×＋6×＋7×＋8×＝. [规律方法] 求随机变量X的均值的方法和步骤 (1)理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值； (2)求出X取每个值的概率P(X＝k)； (3)写出X的分布列； (4)利用均值的定义求E(X). 活学活用 某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会，共邀请50名一线教师参加，使用不同版本教材的教师人数如下表所示： 版本 人教A版 人教B版 苏教版 北师大版 人数 20 15 5 10 (1)从这50名教师中随机选出2名，求2人所使用版本相同的概率； (2)若随机选出2名使用人教版的教师发言，设使用人教A版的教师人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望． 解： (1)从50名教师中随机选出2名的方法数为C＝1 225，选出2人使用版本相同的方法数为C＋C＋C＋C＝350，故2人使用版本相同的概率P＝＝. (2)X的所有可能取值为0，1，2.P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝＝. 　　 类型二 离散型随机变量均值的性质 例2　已知随机变量X的分布列为 X －2 －1 0 1 2 P m (1)求E(X)； (2)若Y＝2X＋5，求E(Y)； (3)若Z＝aX＋3，且E(Z)＝－，求a的值． 解： (1)由随机变量分布列的性质，得 ＋＋＋m＋＝1，解得m＝， 所以E(X)＝(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×＋2×＝－. (2)由公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b，得 E(Y)＝E(2X＋5)＝2E(X)＋5＝2×＋5＝. (3)E(Z)＝E(aX＋3)＝aE(X)＋3＝－a＋3＝－， 得a＝15. [规律方法] 与离散型随机变量性质有关问题的解题思路 若给出的随机变量Y与X的关系为Y＝aX＋b，a，b为常数．一般思路是先求出E(X)，再利用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b求E(Y).也可以利用X的分布列得到Y的分布列，关键是由X的取值计算Y的取值，对应的概率相等，再由定义法求得E(Y). 活学活用 已知随机变量X的分布列如下表： X －1 0 1 P m 若Y＝aX＋3，