6.3 平面向量的坐标运算（习题课）同步训练-【高效课堂 创新设计】2022-2023学年高一数学同步精品课件+跟踪分层训练（人教A版2019必修第二册）

山西省榆次第一中学校 数学教研组 同步训练 YU CI NO.1 MIDDLE SCHOOL 习题课 平面向量的坐标运算 基础训练 1.已知向量a=(3,4),b=(sin α,cos α),且a∥b,则tan α=( ). A. B.- C. D.- 2.已知平面向量a,b,e满足|e|=1,a·e=1,b·e=2,则|a+b|的最小值为( ). A.1 B. C.2 D.3 3.已知△ABC是边长为a的等边三角形,P为平面ABC内一点,则·(+)的最小值是( ). A.-2a2 B.-a2 C.-a2 D.-a2 4.(多选题)已知向量a=(,1),b=(cos θ,sin θ)(0≤θ≤π),c=(1,0),则下列命题正确的是( ). A.若a⊥b,则tan θ= B.存在θ,使得|a+b|=|a-b| C.向量e=(,)是与a共线的单位向量 D.a在c上的投影向量为c 5.已知向量a=(1,0),b=(2,3),则b在a上的投影向量为 . 6.已知向量a=(1,2),b=(-3,4),c=a+λb(λ∈R),则|c|取最小值时,λ的值为 . 能力拔高 7.已知平面向量a,b的夹角为60°,a=(1,),|b|=1,则a·b= ;|a-2b|= . 8.(多选题)八卦是中国文化的基本哲学概念,如图,这是八卦模型图的平面图,即正八边形ABCDEFGH,其中OA=1,则下列结论中正确的是( ). A.∥ B.·=- C.+=- D.||= 9. 如图,这是某建筑群的窗户设计图,窗户的轮廓ABCD是边长为1米的正方形,内嵌一个小正方形EFGH,且E,F,G,H分别是AF,BG,CH,DE的中点,则·的值为 . 10.已知A(2,0),B(0,2),C(cos θ,sin θ),O为坐标原点. (1)若·=-,求sin 2θ的值; (2)若|+|=,且θ∈(-π,0),求与的夹角. 思维拓展 11.定义:a,b两个向量的叉乘a×b的模为|a×b|=|a|·|b|·sin<a,b>,其中<a,b>表示向量a与b的夹角.若点A(1,0),B(1,-),O为坐标原点,则|×|= . 参考答案 1.A【解析】由a∥b可得4sin α=3cos α⇒tan α==. 2.D【解析】不妨设e=(0,1),a=(x,y),b=(m,n), ∴a·e=y=1,b·e=n=2,则a+b=(x+m,3), ∴|a+b|=. ∵(x+m)2≥0,∴|a+b|≥3,则|a+b|的最小值为3.故选D. 3.B【解析】以 BC的中点为坐标原点O,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,a),B(-a,0),C(a,0). 设P(x,y),则=(-x,a-y),=(-a-x,-y),=(a-x,-y), 所以+=(-2x,-2y), 所以·(+)=-x·(-2x)+(a-y)·(-2y)=2x2-ay+2y2=2x2+2(y-a)2-a2,所以当x=0,y=a时,·(+)取得最小值,最小值是-a2.故选B. 4.BCD【解析】对于A,若a⊥b,则a·b=cos θ+sin θ=0,则tan θ=-,故A错误; 对于B,要使|a+b|=|a-b|,则a·b=0,则tan θ=-,因为0≤θ≤π,所以θ=,故存在θ,使得|a+b|=|a-b|,故B正确; 对于C,因为×-1×=0,所以a∥e,又|e|==1,所以向量e=(,)是与a共线的单位向量,故C正确; 对于D,因为c=(1,0)为单位向量,所以a在c上的投影向量为·c=c,故D正确.故选BCD. 5.(2,0)【解析】由b在a上的投影向量为|b|cos <a,b>·,而cos<a,b>==, 得|b|cos<a,b>·=×·a=2a=(2,0). 6.-【解析】由a=(1,2),b=(-3,4),得c=a+λb=(1-3λ,2+4λ), 所以|c|2=c2=(1-3λ)2+(2+4λ)2=25λ2+10λ+5=25(λ+)2+4. 当λ=-时,|c|min=2. 7.1 2【解析】由题意可得|a|==2, 则a·b=2×1×cos 60°=1,|a-2b|====2. 8.ABC【解析】由题图知,在正八边形ABCDEFGH中,中心角为45°, 故以点O为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系, 故A(0,-1),B(,-),C(1,0),D(,),E(0,1),F(-,). 对于A选项,=(,+1),=(1-,),满足×-(+1) (1-)=-(1-)=0,所以∥,故A正确. 对于B选项,=