专题21 二元一次方程组的实际应用之几何图形问题-【微专题】2022-2023学年七年级数学下册常考点微专题提分精练（人教版）

专题21 二元一次方程组的实际应用之几何图形问题 【例题讲解】 （1）一个长方形纸片的长减少3cm，宽增加2cm，就成为一个正方形纸片，并且长方形纸片周长的3倍比正方形纸片周长的2倍多30cm．这个长方形纸片的长、宽各是多少？ （2）小明同学想用（1）中得到的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为30cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3∶2．请问小明能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？请说明理由． 【答案】（1）长是9cm，宽是4cm；（2）不能，理由见解析 【分析】（1）根据长方形、正方形的概念以及面积公式列出方程组，解方程组即可； （2）根据长方形的面积公式列出方程，根据实际情况判断即可． 【详解】解：（1）设长方形的长为xcm，宽为ycm， 则，解得． 答：这个长方形的长是9cm、宽是4cm； （2）小明不能用这块纸片裁出符合要求的纸片． 设裁出的长为3acm，宽为2acm，则3a•2a＝30，解得a＝， ∴裁出长方形的的长为3cm，宽为2cm，∵3＞6， ∴小明不能用这块纸片裁出符合要求的纸片． 【综合解答】 1．如图，长方形ABCD中放有6个形状、大小相同的长方形（空白区域），求图中阴影部分的面积． 【答案】72cm2 【分析】设小长方形的长、宽分别为xcm，ycm，根据所给出的图形列出方程组，求出x，y的值，再根据长方形的面积公式即可得出答案． 【详解】解：设小长方形的长、宽分别为xcm，ycm， 依题意得：， 解得：， 则小长方形的长、宽分别为10cm，2cm， 图中阴影部分的面积是：S阴影部分=S四边形ABCD-6×S小长方形=16×（8+2+2）-6×2×10=72(cm2)． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，此题是一个信息题目，要求学生会根据图示找出数量关系，然后利用数量关系列出方程组． 2．如图，三个一样大小的小长方形沿“横-竖-横”排列在一个长为，宽为的大长方形中，求图中一个小长方形的面积． 【答案】8 【分析】设小长方形的长为x，宽为y，根据大长方形的长和宽，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用长方形的面积计算公式即可求出结论． 【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y， 依题意得：， 解得：， ∴xy=4×2=8． 答：图中一个小长方形的面积为8． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及生活中的平移现象，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 3．小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形如图1那样，恰好可以拼成一个大的长方形.小红看见了，说：“我来试一试.”结果小红七拼八凑，拼成如图2那样的一个洞，恰好是边长为2mm的小正方形！求每个长方形的长、宽. 【答案】长是10mm，宽是6mm 【分析】设每个小长方形的长为xmm，宽为 ymm，根据图形给出的信息可知，长方形的5个宽与其3个长相等，两个加2长的和等于一个长与两个宽的和，于是得方程组，解出即可． 【详解】设长方形的长为x，宽为y，则 解得： 所以每个小长方形的长是10mm，宽是6mm． 【点睛】考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，解答时根据矩形和正方形的长与宽的关系建立方程组是关键． 4．如图（1），将边长为xcm的大正方形剪去一个边长为ycm的小正方形，剩余部分的面积为21cm2， 并将剩余部分沿虚线剪开得到两个长方形，再将这两个长方形拼成如图（2），且宽为3cm的长方形，请你求出大正方形和小正方形的边长． 【答案】大正方形的边长为5cm，小正方形的边长为2cm 【分析】根据题意结合图形列出二元一次方程组即可求解． 【详解】解：依题意得：， 解得：， 答：大正方形的边长为5cm，小正方形的边长为2cm． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出二元一次方程组是解答本题的关键． 5．数学活动课上，小新和小葵各自拿着不同的长方形纸片在做数学问题探究． （1）小新经过测量和计算得到长方形纸片的长宽之比为3：2，面积为30，请求出该长方形纸片的长和宽； （2）小葵在长方形内画出边长为a，b的两个正方形（如图所示），其中小正方形的一条边在大正方形的一条边上，她经过测量和计算得到长方形纸片的周长为50，阴影部分两个长方形的周长之和为30，由此她判断大正方形的面积为100，间小葵的判断正确吗？请说明理由． 【答案】（1）长为，宽为；（2）正确，理由见解析 【分析】（1）设长为3x，宽为2x，根据长方形的面积为30列方程，解方程即可； （2）根据长方形纸片的周长为50，阴影部分两个长方形的周长之和为30列方程组，解方程组求出a即可得到大正方形的面积． 【详解】解：（1）设长为3x，宽为2x， 则：3x•2x=30， ∴x=（负值舍去）， ∴3x=，2x=，