专题16 二元一次方程的整数解及其应用-【微专题】2022-2023学年七年级数学下册常考点微专题提分精练（人教版）

专题16 二元一次方程的整数解及其应用 【例题讲解】 阅读下列材料，解答下面的问题：我们知道方程有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．例：由，得：（、为正整数）．要使为正整数，则为正整数，可知：为3的倍数，从而，代入．所以的正整数解为． 问题： (1)请你直接写出方程的正整数解___________． (2)若为自然数，则求出满足条件的正整数的值． (3)关于，的二元一次方程组的解是正整数，求整数的值． 【详解】（1）解：∵，∴，解得： ，∵、为正整数， ∴是3的倍数，且，∴0＜y＜4，∴y=1， ∴方程的正整数解为；故答案为： （2）解：∵为自然数，x为正整数，∴x-2取6或3或2或1， ∴x取8或5或4或3； （3）解：解方程组得：， ∵方程组的解是正整数，∴8是的倍数， ∴4-k=8或4或2或1， ∴k取-4或0或2或3， 当k=-4时，，符合题意；当k=0时，，符合题意； 当k=2时，，符合题意；当k=3时，，不符合题意； 综上所述，整数的值为-4或0或2． 【综合解答】 1．为安置50名培训人员入住，需要同时租用6人间和4人间两种客房，若每个房间都住满，则租房方案共有（　　） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【答案】A 【分析】设租用x间6人间，租用y间4人间，根据参加培训的共50人，即可得出关于x，y的二元一次方程，再结合x，y均为正整数即可得出结论． 【详解】解：设租用x间6人间，租用y间4人间， 依题意，得：， ∴． 又∵x，y均为正整数， ∴或或或， ∴共有4种租房方案． 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 2．方程的正整数解有（    ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】A 【分析】先将方程化为，再根据均为正整数进行分析即可得． 【详解】解：方程可化为， ∵，均为正整数， ∴，且是的倍数， ，且为偶数， 则当时，， 即方程的正整数解为，共有1组， 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握方程的解法是解题关键． 3．在“双减”政策下，王老师把班级里43名学生分成若干小组，每组只能是4人或5人，则分组方案有（   ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】A 【分析】设可以分成x组4人组，y组5人组，根据各组的人数之和为43人，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为自然数，即可得出共有2种分组方案． 【详解】解：设可以分成x组4人组，y组5人组， 依题意得：， ∴． 又∵x，y均为自然数， ∴或， ∴共有2种分组方案． 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 4．嘉琪购买铅笔和钢笔两种笔共用去18元，已知钢笔4元/个，铅笔2元/个，有（   ）种购买方案． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】利用二元一次方程的解法进而分别代入正整数求出即可． 【详解】解：设购买钢笔x个，铅笔y个， 由题意可得：4x+2y=18，化简得：2x+y=9， 当x=1时，y=7， 当x=2时，y=5， 当x=3时，y=3， 当x=4时，y=1， 故符合题意的有4种． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键． 5．某地突发地震，为了紧急安置名地震灾民，需要搭建可容纳人或人的帐篷，若所搭建的帐篷恰好既不多也不少能容纳这名灾民，则不同的搭建方案有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【分析】根据题意，列出满足题意的方程，求方程的非负整数解即可． 【详解】解：设搭建可容纳人的帐篷个，可容纳人的帐篷个， 依题意得：， 又，均为自然数， 或或或， 不同的搭建方案有种． 故选：． 【点睛】本题考查二元一次方程解个数的求解，熟练掌握二元一次方程解得定义是解题的关键． 6．方程的非负整数解有（   ） A．无数个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】把y看做已知数表示出x，确定出方程的非负整数解即可． 【详解】解：方程x+2y=5， 解得：x=-2y+5， 当y=0时，x=5；y=1时，x=3；y=2时，x=1， 则方程的非负整数解有3个， 故选B． 【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将一个未知数看做已知数表示出另一个未知数． 7．关于x和y的二元一次方程，2x+3y＝20的正整数解有（    ）组． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】将y看作已知数，求出x，即可确定出方程的正整数解． 【详解】解： 当时，；当时，；当时， 则方程的正整数解有3对． 故选：C 【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将y看作已知数，表示出x． 8．班