专题14 坐标系中的面积（和平移有关）-【微专题】2022-2023学年七年级数学下册常考点微专题提分精练（人教版）

专题14 坐标系中的面积（和平移有关） 【例题讲解】 在平面直角坐标系中，已知点，，连接AB，将AB向下平移5个单位得线段CD，其中点A的对应点为点C． (1)填空：点C的坐标为______，线段AB平移到CD扫过的面积为______； (2)若点P是y轴上的动点，连接PD． ①如图（1），当点P在y轴正半轴时，线段PD与线段AC相交于点E，用等式表示三角形PEC的面积与三角形ECD的面积之间的关系，并说明理由； ②当PD将四边形ACDB的面积分成2：3两部分时，求点P的坐标． （1）解：将AB向下平移5个单位得线段CD，∴点C（2，-1）， 线段AB平移到CD扫过的面积为：故答案为：（2，-1）；20； （2）①如图1，过P点作PF⊥AC于F， 由平移知，轴，∵A（2，4），∴PF＝2， 由平移知，CD＝AB＝4， ∴S△PEC＝CE•PF＝CE×2＝CE， S△ECD＝CE•CD＝CE×4＝2CE， ∴S△ECD＝2S△PEC，即：S△PEC＝S△ECD； ②如图2，当PD交线段AC于E，且PD将四边形ACDB分成面积为2：3两部分时，连接PC，延长DC交y轴于点M，则M（0，﹣1）， ∴OM＝1，连接AD，则S△ACD＝S长方形ABDC＝10， ∵PD将四边形ACDB的面积分成2：3两部分， ∴S△CDE＝S矩形ABDC＝×20＝8，由①知，S△PEC＝S△ECD＝×8＝4， ∴S△PCD＝S△PEC+S△ECD＝4+8＝12，∵S△PCD＝CD•PM＝×4PM＝12， ∴PM＝6，∴PO＝PM﹣OM＝6﹣1＝5，∴P（0，5）． 如图3，当PD交AB于点E，PD将四边形ACDB分成面积为2：3两部分时， 连接PB，延长BA交y轴于点G，则G（0，4）， ∴OG＝4，连接AD，则S△ABD＝S长方形ABDC＝10， ∵PD将四边形ACDB的面积分成2：3两部分， ∴S△BDE＝S矩形ABDC＝×20＝8， ∵S△BDE＝BD•BE＝×5BE＝8，∴BE＝ 过P点作PH⊥BD交DB的延长线于点H， ∵B（6，4），∴PH＝6 S△PDB＝BD×PH＝×5×6＝15， ∴S△PBE＝S△PDB﹣S△BDE＝15﹣8＝7， ∵S△PBE＝BE•PG＝PG＝7，∴PG＝， ∴PO＝PG+OG＝+4＝，∴P（0，），综上可得：P（0，）或P（0，5）． 【综合解答】 1．如图，平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，3），B（﹣5，1），C（﹣2，0），P（a，b）是△ABC的边AC上任意一点，△ABC经过平移后得到△A1B1C1，点P的对应点为P1（a+6，b﹣2）． （1）平移后的三个顶点坐标分别为：.A1（        ），B1（        ），C1（        ）. （2）在上图中画出平移后三角形A1B1C1； （3）画出△AOA1并求出△AOA1的面积． 【答案】（1）A1 （3，1）B1 （1，-1）C1（4，﹣2）；（2）答案见解析；（3）6． 【分析】（1）根据点P、P1的坐标确定出平移规律，再求出A1、B1、C1的坐标即可； （2）根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可； （3）利用△AOA1所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式计算即可得解． 【详解】解：（1）∵点P（a，b）的对应点为P1（a+6，b﹣2），∴平移规律为向右6个单位，向下2个单位，∴A（﹣3，3），B（﹣5，1），C（﹣2，0）的对应点的坐标为A1（3，1），B1（1，﹣1），C1（4，﹣2）； 故答案为：A1 （3，1）B1 （1，-1）C1（4，﹣2）； （2）△A1B1C1如图所示； （3）△AOA1的面积=6×3﹣×3×3﹣×3×1﹣×6×2=18﹣﹣﹣6=18﹣12=6． 【点睛】本题考查了利用平移变换作图，三角形的面积，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． 2．在同一平面内，若一个点到一条直线的距离不大于1，则称这个点是该直线的“伴侣点”．    在平面直角坐标系中，已知点M（1，0），过点M作直线l平行于y轴，点A（﹣1，a），点B（b，2a），点 C（﹣，a﹣1），将三角形ABC进行平移，平移后点A的对应点为D，点B的对应点为E，点C的对应点为F． （1）试判断点A是否是直线l的“伴侣点”？请说明理由； （2）若点F刚好落在直线l上，F的纵坐标为a+b，点E落在x轴上，且三角形MFD的面积为，试判断点B是否是直线l的“伴侣点”？请说明理由． 【答案】（1）点A不是直线l的“伴侣点”；（2）点B是直线l的“伴侣点”，理由详见解析. 【分析】（1）直线l：x=1，求出点A到直线l的距离为2，根据“伴侣点”的定义进行判定即可. （2）从点C到点F，找出平