1.3.1 线段垂直平分线的性质与判定(课件PPT)-【学海风暴】2022-2023学年八年级下册初二数学同步备课（北师大版）

第一章 三角形的证明 八年级数学北师版·下册 1.3.1 线段垂直平分线的性质与判定 授课人：XXXX 1 教学目标 1.理解线段垂直平分线的概念； 2.掌握线段垂直平分线的性质定理及逆定理；（重点） 3.能运用线段的垂直平分线的有关知识进行证明或计算.（难点） 新课引入 某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？ A B C 新知探究 观察： 已知点A与点A′关于直线l 对称，如果线段AA′沿直线l折叠，则点A与点A′重合，AD=A′D，∠1=∠2= 90°，即直线l 既平分线段AA′，又垂直线段AA′. ● ● l A A′ D 2 1 (A) 线段垂直平分线的性质 一 新知探究 我们把垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线. 由上可知：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴. 知识要点 新知探究 如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l 上的点，请你量一量线段P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B的长，你能发现什么？请猜想点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离之间的数量关系． A B l P1 P2 P3 P1A ____P1B P2A ____ P2B P3A ____ P3B ＝ ＝ ＝ 新知探究 作关于直线l 的轴反射（即沿直线l 对折），由于l 是线段AB的垂直平分线，因此点A与点B重合. 从而线段PA与线段PB重合，于是PA=PB. (A) (B) B A P l 活动探究 新知探究 猜想： 点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离分别相等． 命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等. 由此你能得到什么结论？ 你能验证这一结论吗？ 新知探究 如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上． 求证：PA =PB． 　证明：∵　l⊥AB， ∴ ∠PCA =∠PCB． 　　又 AC =CB，PC =PC， 　　∴ △PCA ≌△PCB（SAS）， 　　∴ PA =PB． P A B l C 验证结论 新知探究 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 线段垂直平分线的性质定理： 总结归纳 新知探究 例1 如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若△DBC的周长为35cm，则BC的长为(　　) A．5cm B．10cm C．15cm D．17.5cm 典例精析 C 新知探究 解析：∵△DBC的周长为BC＋BD＋CD＝35cm，又∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，故BC＋AD＋CD＝35cm.∵AC＝AD＋DC＝20cm， ∴BC＝35－20＝15(cm). 方法归纳：利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长． 新知探究 练一练：1.如图①所示，直线CD是线段AB的垂直平分线，点P为直线CD上的一点，且PA=5，则线段PB的长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 2.如图②所示，在△ABC中，BC=8cm,边AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E, △BCE的周长等于18cm,则AC的长是 . B 10cm P A B C D 图① A B C D E 图② 新知探究 定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 逆 命 题 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 它是真命题吗？你能证明吗？ 线段垂直平分线的判定 二 新知探究 想一想：如果PA=PB,那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？ 记得要分点P在线段AB上及线段AB外两种情况来讨论。 新知探究 （1）当点P在线段AB上时， ∵PA=PB， ∴点P为线段AB的中点， 显然此时点P在线段AB的垂直平分线上； （2）当点P在线段AB外时，如右图所示. ∵PA=PB， ∴△PAB是等腰三角形. 过顶点P作PC⊥AB，垂足为点C， ∴底边AB上的高PC也是底边AB上的中线. 即 PC⊥AB，且AC=BC. ∴直线PC是线段AB的垂直平分线， 此时点P也在线段AB的垂直平分线上. 新知探究 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 线段垂直平分线的性质定理的逆定理： 应用格式： ∵　PA =PB， ∴　点P 在AB 的垂直平分线上． P A B 作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上. 总结归纳 新知探究 例2：已知：如图△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点