专题09 数列之不等式有解问题-【题型专项突破系列之数列】备战2023年高考数学大题保分专练(全国通用)

专题09 数列之不等式有解问题 一、解答题 1．已知数列是公差不为零的等差数列，，且. (1)求数列的通项公式； (2)设为数列的前项和，求使成立的的取值集合. 2．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，S3＝21，S5＝55． (1)求an、Sn； (2)若数列的前n项和Tn，求满足的最小正整数n． 3．已知数列的前项和(为常数)，且构成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，求使不等式成立的的最大值. 4．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S4，S2，S3成等差数列，且. （1）求数列{an}的通项公式； （2）是否存在正整数n，使得？若存在，求出符合条件的n的最小值；若不存在，说明理由. 5．已知数列满足，. (1)证明：数列为等差数列. (2)设数列的前项和为，求，并求满足的的最大值. 6．在数列{an}中，，对任意的，都有成立． (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{an}的前n项和Sn；并求满足时n的最大值． 7．已知数列的前项和，其中. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，， （i）证明：数列为等差数列； （ii）设数列的前项和为，求成立的的最小值. 8．已知等差数列的公差为，前项和为，且． (1)求数列的通项公式和； (2)若数列的通项公式为，记数列的前项和为，若存在，使得对任意，总有成立，求实数的取值范围． 9．已知数列中，，. (1)求数列的通项公式； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围. 10．已知正项等比数列的前项和为，是和的等差中项，且. (1)求的通项公式； (2)若数列满足，且的前项和为，求使得成立的的最小值. 11．已知正项等比数列的前n项和为，满足，．记. (1)求数列，的通项公式； (2)设数列前n项和，求使得不等式成立的n的最小值. 12．已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＋1＝Sn－－，a1＝－1. （1）求证：{2nSn＋2n}是等差数列； （2）若{an}中，只有三项满足，求实数λ的取值范围. 13．在数列中，，当时，其前项和满足．设，数列的前项和为． （1）求； （2）求满足的最小正整数． 14．已知单调递增的等比数列满足：，且是，的等差中项． （1）求数列的通项公式； （2）若，，求使成立的正整数的最小值． 15．已知数列的前项和为，；等差数列中，，. （1）求数列，的通项公式； （2）设数列前项和为，是否存在正整数，使得？若存在，求的最小值，若不存在，说明理由. 16．已知数列的前项和，满足，且. （1）求证：数列是等差数列； （2）若数列满足，数列的前项和，若，求的最小值. 17．已知数列前项和为，且 （1）求数列的通项公式； （2）若为数列的前项和，且存在，使得成立，求实数的取值范围． 18．等差数列的首项为1，公差，且、、成等比数列，数列满足且. （1）求、； （2）若，数列的前项和为. ①求； ②求使的最小正整数. 19．已知为数列的前n项和，满足，.设. （1）判断数列是否为等比数列，并说明理由； （2）若，求满足的最小的整数n. 20．已知数列的前项和，且满足，，成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，求使成立的最小值. 21．在数列中， （Ⅰ）求数列的通项； （Ⅱ）若存在成立，求实数的最大值． 22．数列是公差为正数的等差数列，和是方程的两实数根，数列满足. (1)求与； (2)设为数列的前项和，求，并求时的最大值. 23．已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)设为数列的前项和，其中，求； (3)若存在，使得成立，求出实数的取值范围. 24．已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且． (1)证明：； (2)求集合中元素个数． 25．已知数列的前n项和满足． (1)求的通项公式； (2)设数列满足，记的前n项和为，若存在使得成立，求的取值范围． 26．已知二项式的展开式的各项系数和构成数列数列的首项，前项和为，且当时，有． (1)求和； (2)设数列的前项和为，若对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 数列之不等式有解问题 一、解答题 1．已知数列是公差不为零的等差数列，，且. (1)求数列的通项公式； (2)设为数列的前项和，求使成立的的取值集合. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用等差数列通项公式求公差，进而写出通项公式. （2）由等差数列前n项和公式及已知不等关系得，即可求n的范围. (1) 设等差数列的公差为，则. 因为，所以，又， 所以，故. (2) 由知：. 所以， 由得：，即，解得， 所以的取值集合为. 2．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，S3＝