专题08 数列之证明不等式-【题型专项突破系列之数列】备战2023年高考数学大题保分专练(全国通用)

专题08 数列之证明不等式 一、解答题 1．设数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)设，记的前项和为，证明：. 2．已知等差数列满足，，的前n项和为． (1)求及的通项公式； (2)记，求证：． 3．已知正项数列的前n项和为，. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，证明：. 4．已知等比数列的前项和为，是等差数列，，，，. (1)求和的通项公式； (2)设的前项和为，，.求证：. 5．已知是数列的前n项和，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，是的前项和，证明：． 6．设为数列的前项和，，，成等差数列． (1)求的通项公式； (2)证明：． 7．已知公差不为0的等差数列的前项和为，、、成等差数列，且、、成等比数列． (1)求的通项公式； (2)若，数列的前项和为，证明：． 8．已知正项数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)令，数列{}的前项和为，证明：对于任意的，都有． 9．等比数列中，，且，，成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)若数列，试求数列前项的和，并证明． 10．已知等差数列的前项和为，，. (1)求的通项公式； (2)证明：. 11．已知数列的前项和为,且.在数列中,,. (1)求,的通项公式; (2)设,数列的前项和为,证明:. 12．数列的各项均为正数，，当时，. (1)证明：是等差数列，并求数列的通项公式； (2)设，数列前项和为，证明：． 13．已知等比数列的前n项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)证明：. 14．已知为数列的前n项和，是公差为1的等差数列． (1)求的通项公式； (2)证明：． 15．已知数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求证：. 16．已知数列中为直角坐标平面上的点.对任意三点共线. (1)求数列的通项公式； (2)求证：. 17．已知数列的各项均为正数，记为的前项和，（且）. (1)求证：数列是等差数列，并求的通项公式： (2)当时，求证：. 18．在等差数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)设，为数列的前n项和，求证． 19．已知是递增的等差数列，，且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为，求证：. 20．已知数列是等差数列且公差不为0，数列是等比数列，且，记的前n项和为， (1)求数列和的通项； (2)设数列，求证：． 21．已知数列的前项． (1)求数列的通项公式； (2)设，求证：． 22．已知数列的前项和满足． (1)求及数列的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)求证：． 23．已知数列中，，（，）．设． (1)求证：数列是等差数列； (2)设，记数列的前项和为．证明，． 24．已知数列的前n项和为满足． (1)求的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，求证：． 25．已知正项数列的前n项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）若为等差数列，求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 数列之证明不等式 一、解答题 1．设数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)设，记的前项和为，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用计算整理得，再利用等比数列的通项公式求解即可； （2）将变形为，利用裂项相消法求，进一步观察证明不等式. 【详解】（1）①， 当时，②， ①-②得，即， 又当时，，解得， 数列是以2为首项，2为公比的等比数列， ； （2）由（1）得， ， 因为， 2．已知等差数列满足，，的前n项和为． (1)求及的通项公式； (2)记，求证：． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）利用等差数列的通项公式列方程组求出首相和公差，进而可得通项公式和前项和； （2）利用裂项相消法可求出，再根据的范围可得的范围，则可证明结论 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则，解得， ， ； （2）由（1）得， ， 即. 3．已知正项数列的前n项和为，. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用计算整理，可得，再利用等差数列的通项公式得答案； （2）将变形得，利用裂项相消法可得，进一步观察可得证明结论. 【详解】（1）①， 当时，②， ①-②得， 整理得，， ， 又当时，，解得， 数列是以2为首项，2为公差的等差数列， ； （2）由（1）得， ， ，即 . 4．已知等比数列的前项和为，是等差数列，，，，. (1)求和的通项公式； (2)设的前项和为，，.求证：. 【答案】(1)； (2)证明见解析 【分析】（1）运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差、公比，即可得到所求通项； （2