专题07 数列之恒成立问题-【题型专项突破系列之数列】备战2023年高考数学大题保分专练(全国通用)

专题07 数列之恒成立问题 一、解答题 1．已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)令，设的前n项和为，若对恒成立，求实数m的取值范围. 2．已知等比数列的前项和为，若，，且． (1)求数列的通项公式以及前项和； (2)设，记数列的前项和，若恒成立，求实数的取值范围． 3．数列满足：. (1)求数列的通项公式； (2)设，为数列的前项和，若恒成立，求实数的取值范围. 4．已知数列的前项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)若，数列前项和为，是否存在实数，使得对任意，恒成立，若存在，求出实数的所有取值；若处存在，说明理由． 5．已知等比数列满足，，且为等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，，对任意正整数，恒成立，试求的取值范围． 6．已知数列满足，，． (1)证明：数列为等比数列，求的通项公式． (2)若数列的前项和为，且恒成立，求实数的取值范围． 7．已知函数，其中 (1)当时，求； (2)设，记数列的前n项和为，求使得恒成立的m的最小整数. 8．已知数列的前项和为，满足． (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)若不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围． 9．已知数列满足，且，数列满足，设的前项和为． (1)求数列的通项公式；求数列的前项和； (2)设，记数列的前项和为对恒成立，求的取值范围． 10．已知数列的前项和为，对任意都有成立，且. (1)求数列的通项公式 (2)已知，且有对任意恒成立，求实数的取值范围 11．已知正项数列前项和为，且满足. (1)求； (2)令，记数列前项和为，若对任意的，均有恒成立，求实数的取值范围. 12．已知数列的各项均为正数，且对任意的都有. (1)求数列的通项公式； (2)设，且数列的前项和为，问是否存在正整数，对任意正整数有恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由. 13．已知数列的各项均为正数，且对任意的都有． (1)求数列的通项公式； (2)设，且数列的前n项和为，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 14．已知数列中，前n项的和为，且 (1)求数列的通项公式； (2)如果恒成立，求最小值. 15．设数列的前n项和为，已知，，成等差数列，且. (1)求的通项公式； (2)若，的前n项和为，若对任意正整数n，不等式恒成立，求的最小值. 16．已知数列的前项和为，，当时，. (1)求； (2)设数列的前项和为，若恒成立，求的取值范围. 17．已知等差数列的前项和为，且，，设数列的前项和为． (1)求数列和的通项公式； (2)设，数列的前项和为，且不等式对任意恒成立，求正整数的最大值． 18．已知为数列的前项和，，为数列的前项和，. (1)求数列的通项公式； (2)若对任意恒成立，求正实数的取值范围. 19．已知数列的前n项和为，且， (1)求数列的通项公式； (2)若不等式对任意恒成立，求实数k的取值范围． 20．已知等差数列的前项和为，记数列的前项和为. (1)求数列的通项公式及; (2)是否存在实数，使得恒成立?若存在，求出实数的取值范围;若不存在，请说明理由. 21．已知数列的前n项和． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，是否存在正整数k，使得对于恒成立？若存在，求出k的最小值；若不存在，请说明理由． 22．已知数列的前n项和为，，且． (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，记数列的前n项和为，若，对任意恒成立，求实数t的取值范围． 23．已知数列是等差数列，是等比数列，且，，． (1)求数列、的通项公式； (2)设，数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围． 24．等差数列的前n项和为，数列是等比数列，满足． (1)求数列和的通项公式； (2)已知数列满足，设的前n项和为，若实数满足对任意的恒成立，求的取值范围． 25．已知等差数列中，公差，，是与的等比中项，设数列的前项和为，满足. (1)求数列与的通项公式； (2)设，数列的前项和为，若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 数列之恒成立问题 一、解答题 1．已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)令，设的前n项和为，若对恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据类比作差即可求得通项公式；（2）根据裂项相消即可求解和不等式的恒成立即可求解. 【详解】（1）因为，① 所以，② ②式两边同时乘以3得，，③ ①③两式得， 所以，， 又当，，所以， 所以，. （2）， 所以 ， ， 易知，是关于的增函数， 所以， 因为对恒成立， 所以， 所以， 实数m的取值范围是. 2．已知等比数列的前项和为，若，，且．