数列求和解答题专项训练-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

数列求和专项练习（解答题） 裂项相消法 【1】．已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列． （1）求数列的通项． （2）设数列的前项和为，求数列的前项和为． 【2】．已知数列各项均为正数，其前项和为，且满足． （1）求数列的通项公式． （2）设，求数列的前项和． 【3】．已知数列满足，，数列满足，． （1）证明数列为等比数列并求数列的通项公式； （2）数列满足，求数列的前项和． 【4】．已知是数列的前项和，，且，其中 （1）求数列的通项公式； （2）设，，，记数列的前n项和为，求证：． 错位相减法 【5】．已知数列中，， （1）证明：数列是等比数列 （2）若数列满足，求数列的前项和． 【6】．数列的前项和为，已知，（，2，3，…）． （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的前项和． 【7】．已知数列满足，，． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 分组求和法 【8】．已知等差数列的前四项和为10，且成等比数列 （1）求数列通项公式 （2）设，求数列的前项和 【9】．设数列的前项和为．已知，，． （1）求通项公式； （2）求数列的前项和． 【10】．已知为等差数列，为等比数列，，，． （1）求和的通项公式； （2）对任意的正整数，设，求数列的前项和． 4 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 数列求和专项练习（解答题） 裂项相消法 【1】．已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列． （1）求数列的通项． （2）设数列的前项和为，求数列的前项和为． 【解析】（1）设公差为，由，且成等比数列， 则，解得或(舍去)， ，故的通项． （2），则 所以， . 【2】．已知数列各项均为正数，其前项和为，且满足． （1）求数列的通项公式． （2）设，求数列的前项和． 【解析】（1）因为，所以，解得， 当时，由①可得，②， ①－②：， 因为，所以，所以，即所以， 所以是以为首项，以为公差的等差数列， 所以；综上所述，结论是． （2）由（1）可得 所以 ，综上所述，． 【3】．已知数列满足，，数列满足，． （1）证明数列为等比数列并求数列的通项公式； （2）数列满足，求数列的前项和． 【解析】（1）因为当时，， 因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以()； （2）因为，所以， 当时，当时， 所以， 当时符合，所以， 所以， 所以 ． 【4】．已知是数列的前项和，，且，其中 （1）求数列的通项公式； （2）设，，，记数列的前n项和为，求证：． 【解析】（1）当时，有，两式相减可得 因为，所以， 当时，由，可得，所以， 所以， 则数列是以为首项，2为公差的等差数列．所以； （2）可得，， 则， ， ， 可得是递增数列，所以，即． 错位相减法 【5】．已知数列中，， （1）证明：数列是等比数列 （2）若数列满足，求数列的前项和． 【解析】（1）证明：由，知 又，所以是以为首项，3为公比的等比数列 （2）解：由（1）知，所以， 两式相减得 所以. 【6】．数列的前项和为，已知，（，2，3，…）． （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的前项和． 【解析】（1）因为，即， 因为，可得，所以， 又，可得， 所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列． （2）由（1）可得，所以， 则， ， ①②得 ， 所以． 【7】．已知数列满足，，． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 【解析】（1）由，得， 又， 故，所以，即，故 又， 所以数列是以6为首项，2为公比等比数列， 所以，故数列的通项公式为 （2） 设，其前n项和为， 则， ， 所以， 所以， 所以 分组求和法 【8】．已知等差数列的前四项和为10，且成等比数列 （1）求数列通项公式 （2）设，求数列的前项和 【解析】（1）设等差数列的公差为， 由题意，得，解得或， 所以或； （2）当时，， 此时； 当时，， 此时． 【9】．设数列的前项和为．已知，，． （1）求通项公式； （2）求数列的前项和． 【解析】（1）由题意得，则，又当时， 由，得，且， 所以数列是公比为3的等比数列，所以数列的通项公式为，． （2）设，，，． 当时，由于，故，． 设数列的前项和为，则，． 当时，， 所以，，，． 【10】．已知为等差数列，为等比数列，，，． （1）求和的通项公式； （2）对任意的正整数，设，求数列的前项和． 【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由，，则，可得，所以， 因为，，所以，整理得，解得， 所以； （2）设数列的前项和中奇数项的和为，偶数项的和为，当为奇数时，， 当为偶数时，，对任意的正整数， ，，①， 由①得，②， ①②得 ，化简得． 因此，数列的前项和为． 6 7 学科网（北京）股份有限公司 $