17.1 勾股定理-【题型分类归纳】2022-2023学年八年级数学下册同步讲与练（人教版）

17.1 勾股定理 一、勾股定理 1、描述：斜边的平方等于两直角边的平方和； 2、表示方法：如果直角三角形两条边长分别为、，斜边为，那么. 注：①勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一； ②勾股定理只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征。 二、勾股定理的证明 证明方法有很多，常用的是拼图的方法。用拼图方法验证勾股定理的思路： ①图形经过割补拼接后，没有重叠，没有空隙，面积不改变； ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。 常见方法 证明 图形 ①赵爽“勾股圆方图” 即 化简得 ②毕达哥拉斯拼图 即 化简得 ③伽菲尔德总统拼图 即 化简得. 三、勾股定理的应用 1、已知直角三角形的任意两边求第三边 2、己知直角三角形的任意一边确定另外两边的关系 3、证明包含平方（算术平方根）关系的几何问题 4、求解几何体表面上的最短路径问题 5、构造方程（或方程组）计算有关线段长度，解决生产、生活中的实际问题 注：在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，明确直角三角形中斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理计算；必要时应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理求解。 题型一 用勾股定理求三角形边长 【例1】若一个直角三角形的一条直角边和斜边长分别为6，10，则第三边长为________． 【变式1-1】在中，，，，分别为，，的对边，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知三角形三边为a、b、c，其中a、b两边满足．如果这个三角形是直角三角形，那么这个三角形的第三边c的值是_____． 【变式1-3】如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，若是的高，则的长为（    ）． A． B． C． D． 【变式1-4】如图，，点在上，于点，于点，若，，则的长为（　　） A． B． C． D． 题型二 勾股定理与点坐标问题 【例2】在平面直角坐标系中，已知点，点，则线段的长度为（    ）． A．5 B．4 C．3 D．2 【变式2-1】在平面直角坐标系中，点，，当线段最短时，的值是______． 【变式2-2】已知点P(),则P到原点O的距离PO等于（ ） A.1 B.3 C.5 D.5 【变式2-3】在平面直角坐标系中，，点P是x轴正半轴上一点，且，则点P的坐标是________． 【变式2-4】若，另一点在轴上，到轴的距离等于到原点的距离，则点坐标为_____． 题型三 勾股定理的证明方法 【例3】如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．若图中的直角三角形的一条直角边长为，大正方形的边长为，则中间小正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】美国数学家伽菲尔德在1876年提出了证明勾股定理的一种巧妙方法，如图，在直角梯形中，，，是边上一点，且，．如果的面积为1，且，那么的面积为（    ） A．1 B．2 C． D．5 【变式3-2】到目前为止，勾股定理的证明已超过 种，其中一种简洁易懂方法叫做“常春证法”，两个直角三角形如图摆放，已知，点F落在上，点C与点E重合，斜边与斜边交于点M，连接，，若，，则四边形的面积为_____． 【变式3-3】在学习勾股定理时，我们学会运用图(I)验证它的正确性：图中大正方形的面积可表示为：，也可表示为：，即由此推出勾股定理，这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”． (1)请你用图(Ⅱ)(2002年国际数字家大会会标)的面积表达式验证勾股定理(其中四个直角三角形全等)； (2)请你用(Ⅲ)提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证 【变式3-4】（1）如图，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，若将图1的阴影部分拼成一个长方形，如图3．由图1、图3你能得到的公式是_________； （2）爱思考的小聪看到三边为，，的直角三角形（如图4），四个这样全等的直角三角形与中间小正方形组成大正方形，他想利用大正方形的两种不同的面积表示方法得到等式．请你代替小聪来表示这个大正方形的面积： 方法一：_______________；（用，，来表示） 方法二：_______________（用，，来表示） （3）你能得出一个关于，，的等式：________；并写出这个等式的推导过程． 题型四 用勾股定理求图形面积 【例4】如图，在中，，，以为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是______． 【变式4-1】如图，在中，，若，则正方形和正方形的面积和为（    ） A．150 B．200 C．225 D．无