6.2.1-6.2.2 排列与排列数（课件）-2022-2023学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第三册）

6.2.1-6.2.2 排列与排列数 第6章 计数原理 教师 xxx 人教A版（2019） 选择性必修第三册 A，B，C，3个同学排成一行照相，有多少种不同的排法？ ①A、B、C ②A、C、B ③B、A、C ④B、C、A ⑤C、A、B ⑥C、B、A 共有6种排法. 在排列位置照相时，先确定第一个人的位置，其他两人自由排列，数出有几种排列方法，依次类推，这样可以不重复、不遗漏地数出一共有多少种排法. 问题引入 从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动,其中1名同学参加上午的活动, 另1名同学参加下午的活动,有几种不同的选法? 上午 下午 相应的选法 乙 丙 甲 乙 甲 丙 丙 甲 乙 甲乙 甲丙 乙甲 乙丙 丙甲 丙乙 我们把上面问题中被取出的对象叫做元素. 上述问题就是从3个不同的元素中任取2个，按照一定的顺序排成一列，求一共有多少种不同的排法． 共有6种选法. 问题引入 从a、b、c、d这4个字母中，每次取出3个按照顺序排成一列，共有多少种不同的排法？ 解决这个问题，需分3个步骤： 第一步，先确定左边的字母，在4个字母中任取1个，有4种方法； 第二步，确定中间的字母，从余下的3个字母中去取，有3种方法； 第三步，确定右边的字母，只能从余下的2个字母中去取，有2种方法． 根据分步乘法计数原理，共有4×3×2=24种不同的排法． 探究新知 a 　b c d b c d a c d a b d a b c c d b d b c c d a d a c b d a d a b b c a c a b 所有的排法 abc abd acb acd adb adc bac bad bca bcd bda bdc cab cad cba cbd cda cdb dab dac dba dbc dca dcb 探究新知 树形图的画法： (1)确定首位，以哪个元素在首位为分类标准进行确定首位. (2)确定第二位，在每一个分支上再按余下的元素，在前面元素不变的情况下定第二位并按顺序分类. (3)重复以上步骤，直到写完一个排列为止. 探究新知 上面三个问题有什么共同特征？ 答：上面三个问题都是研究从一些不同元素中取出部分元素，并按照一定的顺序排成一列的方法数. 探究新知 一、排列的概念 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 【提示】（1）排列的定义中包含两个基本内容： 一是“提取元素”；二是“按一定的顺序排列”. 因此，排列要完成的“一件事”是“取出m个元素，再按顺序排列”. （2）研究排列问题时，要特别注意，排列是从一些不同元素中任取部分不同元素，这里既没有重复的元素，也没有重复抽取同一元素的情况. （3）根据排列的定义，两个排列相同的充要条件是：两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同. 探究新知 二、排列数的概念 我们把从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示. 三、排列数公式 探究：从n个不同元素中取出m个元素的排列数（m≤n）是多少？ 探究新知 可以先从特殊情况开始探究，例如求排列数，可以这样考虑： 假定有排好顺序的两个空位，如图所示，从n个不同元素中取出2个元素去填空，一个空位填上一个元素，每一种填法就得到一个排列；反之，任何一种排列总可以由这种填法得到.因此，所有不同填法的种数就是排列数. 现在来计算有多少种填法.完成“填空”这件事 可以分为两个步骤完成： 第1步，填第1个位置的元素，可以从这n个不同元素中任选1个，有n种选法； 第2步，填第2个位置的元素，可以从剩下的（n-1）个元素中任选1个，有（n-1）种选法. 根据分步乘法计数原理，2个空位的填法种数为＝n（n-1）. 同理，求排列数可以按依次填3个空位来考虑，有＝n（n-1）（n-2）. 一般地，求排列数可以按依次填m个空位来考虑： 假定有排好顺序的m个空位，如图所示，从n个不同元素中 取出m个元素去填空，一个空位填上一个元素，每一种填法 就对应一个排列.因此，所有不同填法的种数就是排列数. 填空可以分为m个步骤完成： 第1步，从n个不同元素中任选1个填在第1位，有n种选法；