9.4.1 矩形-2022-2023学年八年级数学下册同步培优讲练综合【知识+题型+提升训练】（苏科版）

9.4.1 矩形 同步培优讲练综合 知识点1：矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 知识点2：矩形的性质 1.矩形具有平行四边形的所有性质； 2.矩形的对角线相等； 3.矩形的四个角都是直角； 4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. 知识点3：矩形的判定 1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2.对角线相等的平行四边形是矩形. 3.有三个角是直角的四边形是矩形. 一、矩形性质的认识 【例1】下列性质中矩形不一定具有的性质是（    ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．既是轴对称图形又是中心对称图形 【例2】关于矩形，下列说法错误的是　　 A．四个角相等 B．对角线相等 C．四条边相等 D．对角线互相平分 【例3】下列说法中能判定四边形是矩形的是　　 A．有两个角为直角的四边形 B．对角线互相平分的四边形 C．对角线相等的四边形 D．四个角都相等的四边形 二、利用矩形的性质求角度 【例1】如图，将矩形绕点A顺时针旋转到矩形的位置，若旋转角为，则为（    ） A． B． C． D． 【例2】如图，在矩形中，对角线，交于点O.若，则的度数为（    ） A．30° B．35° C．40° D．45° 【例3】如图，在矩形中，，相交于点，平分交于，若，则的度数为(    ) A． B． C． D． 三、利用矩形的性质求线段 【例1】如图，在矩形中，点D的坐标是，则的长是（    ）． A．3 B．4 C．5 D．6 【例2】如图，在矩形中，，，点在边上，且，为边上的一个动点，连接，以为边作等边，且点在矩形内，连接，则的最小值为（    ） A．3 B．2 C．1 D． 【例3】如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为中点，则的最小值为__． 四、利用矩形的性质求面积 【例1】如图，矩形中，，，点为直线的一点，连，平移至，连接、，则四边形的面积是（　　） A． B． C． D． 【例2】如图，点是矩形的对角线上一点，过点作EF//BC，分别交，于点，，连接，若，则图中阴影部分的面积为______． 【例3】如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则S△ECF的值为____． 五、矩形有关的折叠问题 【例1】如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点E为AD中点，点P为线段AB上一个动点，连接EP，将△APE沿PE折叠得到△FPE，连接CE，DF，当线段DF被CE垂直平分时，AF则线的长为_______． 【例2】如图，有一张矩形纸条ABCD，AB＝10cm，BC＝3cm，点M，N分别在边AB，CD上，CN＝1cm．现将四边形BCNM沿MN折叠，使点B，C分别落在点，上．在点M从点A运动到点B的过程中，若边与边CD交于点E，则点E相应运动的路径长为_____cm． 【例3】如图，在长方形ABCD中，点M为CD中点，将△MBC沿BM翻折至△MBE，若∠AME ＝ α，∠ABE ＝ β，则 α 与 β 之间的数量关系为________． 【例4】如图，将长方形纸片沿BD所在直线折叠，得到，与交于点E，若，则的度数为_________． 六、矩形的判定 解答题 【例1】如图，中，，于点，四边形是平行四边形．求证：四边形是矩形． 【例2】如图，在中，，，为中点，． （1）求证：四边形是矩形． （2）连接交于点，若，，直接写出EC的长． 【例3】问题情境：在综合实践课上，老师让同学们探究“平面直角坐标系中的旋转问题”，如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，，点，点． 操作发现：以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点，，的对应点分别为，，． (1)如图，当点落在边上时，求点的坐标； (2)继续探究：如图，当点落在线段上时，与交于点，求证：； 【例4】在平行四边形中，，将沿翻折至，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)在平行四边形中，已知：，将沿翻折至，连接．若以A、C、D、为顶点的四边形是矩形，求的长． 【例5】已知：如图，在矩形中，，．对角线的垂直平分线分别交、于点、．求线段的长． 【例6】如图①，四边形ABCD是一张矩形纸片，AD =1，AB =5．在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN相交于点K，得到△MNK，如图①． (1)当点M与点A重合（如图②），且∠BMN=15°时，求△MNK的面积； (2)请你利用备用图探究怎样能够能够使折叠出△MNK的面积最大，最大值是多少 【例7】如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点E从点A出发，沿边AD，DC向点C运动，A，D关于直线BE的对称点分别为M，N，连接