专题2.2 一元二次方程的解法-【帮课堂】2022-2023学年八年级数学下册同步精品讲义（浙教版）

专题2.2 一元二次方程的解法 1、掌握一元二次方程的解法，直接开方法，配方法，公式法和因式分解法解一元二次方程； 2、掌握根的判别式确定一元二次方程根的情况，会利用根的判别式求一元二次方程的参数； 3、掌握换元法解一元二次方程； 知识点01 直接开方法解一元二次方程 【知识点】 开平方法：对于形如或的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解. 形如的方程的解法： 当时，; 当时，; 当时，方程无实数根。 【典型例题】 例1．（2021秋·陕西安康·九年级校考期末）一元二次方程的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直接开平方法解方程即可求解． 【详解】解∶， 解得：． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了直接开平方法解方程，正确开平方是解题关键． 例2．（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）若代数式的值为9，则的值为______． 【答案】或1##1或 【分析】根据题意列出方程，再利用直接开平方法解答，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴， 解得：． 故答案为：或1． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 例3．（2022秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考期中）已知是方程的一个根，求常数m的值及该方程的另一根． 【答案】，另一个根为． 【分析】将代入方程求出m的值，再利用直接开平方法求解即可． 【详解】解：将代入，得：， 解得， 方程为， 则， ，， ，另一个根为． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程解的意义，以及运用解的定义解决相关问题的能力，根据方程的解的定义求得m的值是解题的关键． 【即学即练】 1．（2022秋·全国·九年级专题练习）方程的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】方程利用平方根定义开方即可求出解． 【详解】解：方程， 开方得：或， 解得：． 故选：A． 【点睛】题目主要考查利用直接开方法解一元二次方程，熟练掌握直接开方法是解题关键． 2．（2022秋·陕西榆林·九年级校考期末）一元二次方程的解是（    ） A． B． C． D．， 【答案】B 【分析】直接用开平方法解方程即可． 【详解】解：， 开平方得：， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的一般方法，准确进行计算． 3．（2022秋·湖北黄冈·九年级校考阶段练习）已知关于的一元二次方程的一个根是0，则的值为（    ） A． B．1 C．1或 D．2 【答案】A 【分析】直接将0代入求解即可． 【详解】∵关于的一元二次方程的一个根是0， ∴， 解得，， ∵当时不是一元二次方程， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，解题时注意． 4．（2022秋·辽宁沈阳·九年级统考期中）方程是关于的一元二次方程，则___________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义知，，且，据此可以求得的值． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， ，且， 解得； 故答案是：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 5．（2022秋·贵州铜仁·九年级统考阶段练习）定义运算“★”：对于任意实数a，b，都有，如：．若，则实数x的值是________． 【答案】8或2 【分析】先根据题意得到关于x的一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得或， 故答案为；8或2． 【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，解一元二次方程，正确理解题意得到是解题的关键． 6．（2022秋·浙江·七年级专题练习）求下列各式中的x： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）首先把二次项系数化1，再方程两边开平方，计算即可； （2）首先把二次项系数化1，再方程两边开平方，计算即可． 【详解】（1）∵， ∴二次项系数化1，可得：， 方程两边开平方，可得：； （2）∵， ∴， ∴， 解得：，． 【点睛】本题主要考查了利用开平方法解一元二次方程，熟练掌握并学会灵活变形是解题关键． 知识点02 配方法解一元二次方程 【知识点】 配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为的方程，再运用开平方法求解。 配方法的一般步骤： ①移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边； ②“系数化1”：根据等式的性质把二次项的系数化为1； ③配方：将方程两边分别加上