专题2.3 一元二次方程的应用-【帮课堂】2022-2023学年八年级数学下册同步精品讲义（浙教版）

专题2.3 一元二次方程的应用 1.掌握一元二次方程的应用，增长率问题，传播问题，营销问题，动态几何问题，行程问题和其他类型的应用题； 2.掌握一元二次方程的综合应用，学会用一元二次方程的知识点解决相关实际问题； 知识点01 一元二次方程的应用之增长率问题 【知识点】 增长率问题涉及的公式有: (1) (2)若设原来量是，平均增长率是，增长次数是，增长后的量是，则;若设原来量是，平均降低率是，降低次数是，降低后的量是，则. 【典型例题】 例1．（2023秋·四川宜宾·九年级统考期中）据统计，从2019年至2021年我国高铁的年运营总里程中万千米增加到4万千米．设我国从2019年至2021年高铁运营总里程的年平均增长率为x，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“从2019年至2021年高铁运营总里程的年平均增长率为x”即可列出方程． 【详解】解：∵从2019年至2021年高铁运营总里程的年平均增长率为x， ∴方程为， 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并列出方程是解决本题的关键． 例2．（2022秋·江苏盐城·九年级校考期中）某种商品原价每件元，经两次降价，现售价每件元，设该种商品平均每次降价的百分率为，则可列方程______． 【答案】 【分析】设降价百分率为x，根据售价从原来每件40元经两次降价后降至每件32.4元，可列方程求解． 【详解】解：设降价百分率为x，列方程：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，根据题意列出方程是解题的关键． 例3．（2022秋·广西桂林·九年级统考期中）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆人次，若进馆人次的月平均增长率相同． (1)求进馆人次的月平均增长率； (2)因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过人次，在进馆人次的月平均匀增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次？并说明理由． 【答案】(1) (2)校图书馆能接纳第四个月的进馆人次，理由见解析 【分析】（1）根据进馆人次的月平均增长率相同列方程求解； （2）根据（1）所计算出的月平均增长率，计算出第四个月的进馆人次，再与比较大小即可． 【详解】（1）解：设进馆人次的月平均增长率为，则由题意得： ， ， ，或舍， 答：进馆人次的月平均增长率为． （2）解：∵进馆人次的月平均增长率为， 第四个月的进馆人次为：， 答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次． 【点睛】本题属于一元二次方程的应用题，列出方程是解题的关键． 【即学即练】 1．（2023秋·江苏扬州·九年级校考期末）某一芯片实现国产化后，经过两次降价，每块芯片单价由81元降为64元．若两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用经过两次降价后的价格=原价×（1降价率），即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：依题意得：． 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 2．（2023秋·湖北黄石·九年级校联考期末）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆600人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆2850人次，若进馆人次的月平均增长率为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】列出第二个月和第三个月的人次后相加即可． 【详解】解：第二个月：，第三个月：，则三个月累计人次为：，列方程为：． 故选C． 【点睛】本题主要考查一元二次函数的应用，注意求的是三个月的累计． 3．（2022秋·广西防城港·九年级统考期中）某校为了加强学校“信息化”建设，计划用三年时间对全校的信息化设施和设备进行全面改造和更新，年该校已投资万元人民币，若每年投资的增长率相同，预设年投资万元人民币，那么每年投资的增长率为______． 【答案】 【分析】设每年投资的增长率为，利用年的投资金额年的投资金额每年投资的增长率，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设每年投资的增长率为，根据题意得 ， 解得：，不符合题意，舍去， 每年投资的增长率为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 4．（2023秋·广东广州·九年级广州市天河区汇