2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题（特殊三角形问题）

2023年九年级数学中考专题:二次函数综合压轴题(特殊三角形问题) 1.在平面直角坐标系中,由两条与x轴有着相同的交点,并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”.如图所示,抛物线与抛物线:组成一个“月牙线”,相同的交点分别为M,N(点M在点N的左侧),与y轴的交点分别为A,B,且点A的坐标为. (1)求M,N两点的坐标及抛物线的解析式; (2)若抛物线的顶点为D,当时,试判断三角形的形状,并说明理由; (3)在(2)的条件下,点是抛物线上一点,抛物线第三象限上是否存在一点Q,使得,若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,说明理由. 2.如图,在平面直角坐标系中,点,分别是轴正半轴,轴正半轴上两动点,,,以,为邻边构造矩形,抛物线交轴于点,为顶点,轴于点. (1)求,的长(结果均用含的代数式表示). (2)当时,求该抛物线的表达式. (3)在点在整个运动过程中,若存在是等腰三角形,请求出所有满足条件的的值. 3.如图1,抛物线与x轴交于两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点.点在轴正半轴上,直线:与抛物线交于点. (1)求线段的长度; (2)如图,点Р是线段上的动点,过点作轴的平行线交抛物线于点,求的最大值; (3)如图3,将抛物线向左平移4个单位长度,将沿直线平移,平移后的记为,在新抛物线的对称轴上找一点M,当是以点为直角顶点的等腰直角三角形时,请直接写出所有符合条件的点M的坐标. 4.如图1,抛物线经过点、,并交轴于另一点,点在第一象限的抛物线上,交直线于点. (1)求该抛物线的函数表达式; (2)如图1,当点P的坐标为时,求四边形的面积; (3)请利用备用图,若点Q也是抛物线上的一点, ①当的值最大时,求此时点P的坐标; ②当的值最大且是直角三角形时,求点Q的横坐标. 5.如图,抛物线经过点,交y轴于点C. (1)求抛物线的顶点坐标; (2)点D为抛物线上一点,是否存在点D使,若存在请直接给出点D坐标;若不存在请说明理由; (3)将直线BC绕点B顺时针旋转45°,与抛物线交于另一点E,求直线的解析式. 6.已知抛物线经过、两点,O为坐标原点,抛物线交正方形的边于点E,点M为射线上一动点,连接,交于点F. (1)求b和c的值及点C的坐标; (2)求证∶ (3)是否存在点M,使为等腰三角形?若不存在,请说明理由;若存在,求ME的长. 7.在平面直角坐标系中,正方形的顶点在轴上,顶点在轴上,、的长分别是一元二次方程的两个根(). (1)求、两点坐标; (2)二次函数经过点和点,求此二次函数解析式; (3)在直线上是否存在点,使为等腰三角形?若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,说明理由. 8.如图①,抛物线,与x轴交于A,B两点(A在B的左边),与y轴交于C点,顶点为E,其中,点A坐标为,对称轴为. (1)求此抛物线解析式; (2)在第四象限的抛物线上找一点F,使,求点F的坐标; (3)如图②,点P是x轴上一点,点E与点H关于点P成中心对称,点B与点Q关于点P成中心对称,当以点Q,H,E为顶点三角形是直角三角形时,求P的坐标. 9.如图,抛物线经过、、三点,直线l是抛物线的对称轴. (1)求抛物线的函数关系式: (2)设点P是直线l上的一个动点,当的周长最小时,求点P的坐标: (3)在直线l上是否存在点M,使为等腰三角形,若存在,直接写出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由; (4)若点E在x轴上,点F在抛物线上,是否存在以B,C,E,F为顶点且以BC为一边的平行四边形?若存在,求点F的坐标:若不存在,请说明理由. 10.如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,二次函数的图象与x轴交于A、B(点A在点B左侧)两点,与y轴交于点C,已知点,P点为抛物线的顶点,连接PC,作直线. (1)点A的坐标为 ; (2)若射线平分,求二次函数的表达式; (3)在(2)的条件下,如果点是线段(含A、B)上一个动点,过点D作x轴的垂线,分别交直线和抛物线于E、F两点,当m为何值时,为直角三角形? 11.如图,已知抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴于点D,已知,. (1)求抛物线的表达式; (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使是以为腰的等腰三角形?如果存在,直接写出P点的坐标;如果不存在,请说明理由; (3)点E是线段上的一个动点,过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F,当点E运动到什么位置时,四边形的面积最大?求出四边形的最大面积及此时E点的坐标. 12.如图,抛物线y=ax2+bx过A(4,0),B(1,3)两点,点C、B关于抛物线的对称轴对称,过点B作直线BH⊥x轴,交x轴于点H. (1)求抛物线的表达式; (2)直接写出点C的坐标,并求出△ABC的面积; (3)若点M在直线BH上运