“20、21题”24分压轴练(4)-【红对勾】2023版高考数学(理科)二轮复习讲与练

高三二轮·数学·2(理科) “20、21题”24分压轴练(4) 20.已知抛物线Γ:y2=2px 的焦 点为F(2,0). (1)求抛物线Γ 的方程; (2)过点T(t,0)(t>0)作两 条互相垂直的直线分别交抛 物线Γ 于A,B,C,D 四点,且点 M,N 分别 为线段AB,CD 的中点,求 △TMN 的面积 的最小值. 21.(2022·福州市质量检测)已知函数f(x)= ex -axsin x-bx+c的图象与x 轴相切于 原点. (1)求b,c的值; (2)若f(x)在(0,π)上有唯一零点,求实数 a的取值范围. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 192 高三二轮·数学·2(理科) 21.解:(1)由f(x)= -3ln x +x3 + ax2-2ax,得f'(x)= - 3 x +3x 2+ 2ax-2a,x >0,所以f'(1)=0, 又f(1)= -3ln 1+13+a·12-2a· 1=1-a,所以曲线y=f(x)在x= 1处的切线方程为y =1-a. (2)证明:由(1)得f'(x)= x-1 x [3x2+(2a+3)x+3],x>0, 因为x1,x2为函数f(x)的两个不等 于1的极值点,所以x1,x2 是方程 3x2+(2a+3)x+3=0的两个不相 等的正实根. 不妨 设 x1 >x2 >0,易 知 x1 + x2 = - 2a+3 3 ,x1x2 =1,且 需 满 足 Δ = (2a+3)2-36>0, - 2a+3 3 >0 , 所以a<- 9 2 , 所以直线PQ 的斜率k= f(x2)-f(x1) x2-x1 = 3ln x1 x2 x2-x1 +x22 + x1x2+x21+a(x2+x1)-2a. 先证ln x1 x2 > 2(x1-x2) x1+x2 (x1>x2> 0).令 x1 x2 =u >1,φ(u)=ln u- 2(u-1) u+1 ,则φ'(u)= 1 u - 4 (u+1)2 = (u-1)2 u(u+1)2 > 0,所 以 φ(u)在 (1, +∞)上单调递增,所以φ(u)>0,故 ln x1 x2 > 2(x1-x2) x1+x2 (x1>x2>0). 所以k = 3ln x1 x2 x2-x1 + (x2 +x1)2 - 2x1x2+1+a(x2 +x1)-2a < -6 x2+x1 +(x2+x1)2-1+a(x2+ x1)-2a. 令x1+x2 =t,则a = - 3t+3 2 < - 9 2 ,所以t>2,所以k<- 6 t +t 2- 1- 3t+3 2 (t-2), 所 以 k < (t-2)(t2+2t+3) t - (3t+3)(t-2) 2 = t-2 2 -t+6t + 1 ,因为t>2,所以k<t-22 -2+ 6 2+1 =t-2,故k+2<x1+x2. “20、21题” 24分压轴练(4) 20.解:(1)∵抛物线Γ的焦点为F(2,0), 即p 2 =2 ,解得p=4,∴抛物线Γ的 方程为y2 =8x. (2)由题意知,直线AB,CD 的斜率存 在,且不为零,可设直线AB 的斜率为 k,则直线CD 的斜率为 - 1 k ,则直线 AB 的方程为y=k(x-t),直线CD 的方程为y = - 1 k (x-t), 设A(x1,y1),B(x2,y2), 由 y =k(x-t), y2 =8x, 消 去 y 整 理 得 k2x2-2(k2t+4)x+k2t2 =0, 由根与系数的关系得 x1+x2 = 2(k2t+4) k2 , ∴y1+y2=k(x1-t)+k(x2-t)= k(x1+x2)-2kt=k· 2(k2t+4) k2 - 2kt= 8 k ,即y1+y2 = 8 k , ∴M k2t+4 k2 ,4 k , 同理可得 N(4k2+t,-4k), ∴|TM|= k2t+4 k2 -t 2 + 4 k 2 = 4× 1 k2 × 1+k2, |TN|= (4k2)2+(-4k)2 = 4|k| 1+k2, ∴S△TMN = 1 2 |TM | ·|TN |= 8|k|+ 1 |k| ≥8×2 |k|× 1|k|= 16(当且仅当|k|=1,即k= ±1时, 等号成立),∴△TMN 的面积的最小 值等于16. 21.解:(1)f'(x)=ex -a(sin x+xcos x) -b,由题意可得