“20、21题”24分压轴练(3)-【红对勾】2023版高考数学(理科)二轮复习讲与练

第二部分 题型突破 “20、21题”24分压轴练(3) 20.新药在进入临床实验之前,需要先通过动物 进行有效性和安全性的实验.现对某种新药 进行5 000次动物实验,一次实验方案如下: 选取3只白鼠对药效进行检验,当3只白鼠 中有2只或2只以上使用“效果明显”,即确 定“实验成功”;若有且只有1只“效果明显”, 则再取2只白鼠进行二次检验,当2只白鼠 均使用“效果明显”,即确定“实验成功”;其 余情况则确定“实验失败”.设对每只白鼠的 实验相互独立,且使用“效果明显”的概率均 为p(0<p<1). (1)若p= 1 2 ,设该新药在一次实验方案中 “实验成功”的概率为p0,求p0 的值. (2)若动物实验预算经费为700万元,对每只 白鼠进行实验需要300元,其他费用总计为 100万元,问该动物实验总费用是否会超出 预算? 并说明理由. 21.(2022·南京市、盐城市联考)设函数f(x)= -3ln x+x3+ax2-2ax,a∈R. (1)求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程; (2)若x1,x2 为函数f(x)的两个不等于1 的极值点,设P(x1,f(x1)),Q(x2,f(x2)), 直线PQ 的斜率为k,求证:k+2<x1+x2. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 191 详解答案 y0+ 3m m2-2 6 m2-2 = -m,得 y0 = - 9m m2-2 ,即Q 0,- 9m m2-2 , 连接 QP,QA,QM,因此|QP|2 = - 9m m2-2 2 +12. 由勾股定理可得,|QA|2 =|QM|2+ 1 4|AB| 2,又|QA|=|QP|,则 - 9m m2-2 2 +12= - 6 m2-2 2 + 6m m2-2 2 + 6(m2+1)2 (m2-2)2 ,化 简 得 2m4 -5m2 +2=0,得 m = ± 2 2 (m = ± 2舍去), 因此直线l的方程为x = ± 2 2y+3. 解法2:由题意,F2(3,0),可设直线l: x =my+3,则- 2<m < 2, 联立得 x =my+3, x2-2y2 =6, 得(m2-2)y2+6my+3=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2 = 3 m2-2 . 由题意设Q(0,t),则有 x21+(y1-t)2 =t2+12, x22+(y2-t)2 =t2+12, 将 x21 =6+2y21, x22 =6+2y22 代入,可得 3y21-2ty1-6=0, 3y22-2ty2-6=0, 则y1,y2 为方 程3y2 -2ty -6=0的 两 根,故 y1y2 = -2,从而 3 m2-2 = -2,解得 m = ± 2 2 ,因 此 直 线l 的 方 程 为 x = ± 2 2y+3. 21.解:(1)f(x)的定义域为(0,+ ∞), f'(x)=ax-1- 1 x = ax2-x-1 x (x >0). 记φ(x)=ax2-x-1. 当a≤0时,φ(x)<0,f'(x)<0,所 以f(x)在(0,+∞)上单调递减. 当a>0时,令φ(x)=0,得x1 = 1+ 1+4a 2a ,x2 = 1- 1+4a 2a (舍去). 当 x ∈ (0,x1) 时,φ(x) < 0, f'(x)<0,所以f(x)单调递减;当 x ∈ (x1,+ ∞)时,φ(x)> 0, f'(x)>0,所以f(x)单调递增. 综上,当a≤0时,f(x)在(0,+∞) 上单调递 减;当a >0时,f(x)在 0,1+ 1+4a2a 上 单 调 递 减,在 1+ 1+4a 2a ,+∞ 上单调递增. (2)由(1)知,当a ≤0时,f(x)在 [1,+∞)上单调递减,所以f(x)≤ f(1)= 1 2a-1<0. 此时|f(x)|min =1- a 2. 令1- a 2 ≥2 ,解得a≤-2. 当a>0时, ① 若φ(1)=a-2≥0,即a≥2,则 x1 = 1+ 1+4a 2a ≤ 1 ,当 x ∈ (1,+∞)时,φ(x)>0,f'(x)>0, 所以f(x)在[1,+∞)上单调递增. 此时f(x)≥f(1)= a 2 -1≥0 , |f(x)|min = a 2 -1. 令a 2 -1≥2 ,解得a≥6. ② 若φ(1)=a-2<0,即0<a< 2,则x1= 1+ 1+4a 2a >1 ,当x∈ [1,x