“20、21题”24分压轴练(1)-【红对勾】2023版高考数学(理科)二轮复习讲与练

第二部分 题型突破 “20、21题”24分压轴练(1) 20.(2022·济南模拟)某新型双轴承电动机需要 装配两个轴承才能正常工作,且两个轴承互 不影响.现计划购置甲、乙两个品牌的轴承, 两个品牌轴承的使用寿命及价格情况如下表: 品牌 价格(元/件) 使用寿命(月) 甲 1 000 7或8 乙 400 3或4 已知甲品牌使用7个月或8个月的概率均为 1 2 ,乙品牌使用3个月或4个月的概率均 为1 2. (1)若从4件甲品牌和2件乙品牌共6件轴承 中,任选2件装入电动机内,求电动机可工作 时间不少于4个月的概率; (2)现有两种购置方案,方案一:购置2件甲 品牌;方案二:购置1件甲品牌和2件乙品牌 (甲、乙两品牌轴承搭配使用).试从性价比 (即电动机正常工作时间与购置轴承的成本 之比)的角度考虑,选择哪一种方案更实惠? 21.已知函数f(x)=xex -aln x-ax. (1)若a=e,讨论f(x)的单调性; (2)若对任意x>0恒有不等式f(x)≥1成 立,求实数a的值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 189 高三二轮·数学·2(理科) “20、21题” 24分压轴练(1) 20.解:(1)电动机工作时间不少于4个月 共有三种情况: ① 装入两件甲品牌,概率为 C24 C26 = 2 5 ; ② 装入一件甲品牌,一件乙品牌,且 乙品牌的使用寿命为4个月,概率为 C14×C12 C26 × 1 2 = 4 15 ; ③ 装入两件乙品牌,且两件的使用寿命 均为4个月,概率为 C22 C26 × 1 2× 1 2 = 1 60. ∴电动机可工作时间不少于4个月的 概率为P = 2 5 + 4 15+ 1 60= 41 60. (2)若采用方案一,设电动机可工作 时间为X(单位:月),则 X 的可能取 值为7,8, P(X =8)= 1 2 × 1 2 = 1 4 , P(X =7)=1-P(X =8)= 3 4 , ∴X 的分布列为 X 7 8 P 34 1 4 ∴E(X)=7× 3 4 +8× 1 4 = 29 4 , 它与购置轴承的成本之比为 E(X) 1 000+1 000= 29 8 000. 若采用方案二,设两件乙品牌轴承的 使用寿命之和为Y(单位:月),则Y 的 可能取值为6,7,8, P(Y =6)= 1 2 × 1 2 = 1 4 , P(Y =7)=2× 1 2 × 1 2 = 1 2 , P(Y =8)= 1 2 × 1 2 = 1 4. 设甲品牌轴承的使用寿命为 M(单位: 月),此时电动机可工作时间为Z(单 位:月),则Z 的可能取值为6,7,8, P(Z =6)=P(Y =6)= 1 4 , P(Z =7)= P(M =7,Y ≥7)+ P(M =8,Y =7)= 1 2× 3 4+ 1 2× 1 2 = 5 8 , P(Z =8)=P(M =Y =8)= 1 2× 1 4 = 1 8 , ∴Z 的分布列为 Z 6 7 8 P 14 5 8 1 8 ∴E(Z)=6× 1 4+7× 5 8+8× 1 8 = 55 8 ,它 与 购 置 轴 承 的 成 本 之 比 为 E(Z) 1 000+400+400= 11 2 880 , ∵ 298 000< 11 2 880 ,∴从性价比的角度 考虑,方案二更实惠. 21.解:(1)f'(x)=ex +xex - a x -a= ex(x+1)- a(x+1) x = (x+1) ex - a x , 当a=e时,f'(x)= (x+1) ex - e x ,x >0, 当x>1时,ex > e x ,ex - e x >0 ,可 得f'(x)>0,f(x)单调递增, 当0<x<1时,ex < e x ,ex - e x < 0,可得f'(x)<0,f(x)单调递减, 综上 所 述,f(x)在(0,1)上 单 调 递 减,在(1,+∞)上单调递增. (2)由(1)知f'(x)= (x+1) ex - a x , ①当a<0时,f'(x)=(x+1) ex- a x >0恒成立,此时f(x)单调递 增,f(x)的值域为R,不符合题意; 当a=0时,则f 1 2 = 12e 1 2 <1, 也不符合题意, 当a>0时,令f'(x)=(x+1) ex- a x =0,可得ex - ax =0,即ex· x-a=0, 令g(x