专题10.4 分式的基本性质（知识讲解）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（苏科版）

专题10.4 分式的基本性质（知识讲解） 【学习目标】 1.掌握分式的基本性质，并能利用分式的基本性质将分式恒等变形，进而进行条件计算； 2． 理解并掌握分式变号的法则； 3． 理解并掌握分式的约分、最简分式； 4． 对比分数通分，掌握分式通分的基本运算。 【知识要点】 要点一、分式的基本性质 分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）. 特别说明 （1） 基本性质中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一 般在解题过程中不另强调；M≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M≠0这个前提条件. （2）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如：，在变形后，字母的取值范围变大了. 要点二、分式的变号法则 对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数. 特别说明：根据分式的基本性质有，.根据有理数除法的符号法则有.分式与互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用. 要点三、分式的约分，最简分式 与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式. 特别说明： （1） 约分的实质是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分母再没有公因式. （2）约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式.分子、分母的公因式是分子、分母的系数的最大公约数与相同因式最低次幂的积；当分式的分子、分母中含有多项式时，要先将其分解因式，使之转化为分子与分母是不能再分解的因式积的形式，然后再进行约分. 要点四、分式的通分 与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分. 特别说明： （1） 通分的关键是确定各分式的最简公分母：一般取各分母所有因式的最高次幂 的积作为公分母. （2） 如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积；如果各分母都是多项式，就要先把它们分解因式，然后再找最简公分母. （3）约分和通分恰好是相反的两种变形，约分是对一个分式而言，而通分则是针对多个分式而言. 【典型例题】 类型一、分式的基本性质➽➼分式变形的正误判断✭✭单项式相除 1．不改变分式的值，下列各式变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的基本性质即可一一判定． 解：A.，故该选项错误，不符合题意； B.，故该选项正确，符合题意； C.，故该选项错误，不符合题意； D.，故该选项错误，不符合题意； 故选：B． 【点拨】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质． 举一反三： 【变式】下列运算中，错误的是（    ） A． B． C． D．． 【答案】D 【分析】根据分式的基本性质判断即可． 解：A、，故该项正确； B、，故该项正确； C、，故该项正确； D、当时，，故该项错误； 故选：D． 【点拨】此题考查了分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变，熟记性质是解题的关键． 2．（    ），则括号内应填的代数式（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据单项式除以单项式法则计算，即可求解． 解：根据题意得：括号内应填的代数式为 ． 故选：C 【点拨】本题主要考查了单项式除以单项式，熟练掌握单项式除以单项式法则是解题的关键． 举一反三： 【变式】计算：的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据整式的除法法则计算即可． 解：原式． 故选：B． 【点拨】本题考查了整式的除法法则，单项式除以单项式分为三个步骤：①系数相除；②同底数幂相除；③对被除式里含有的字母直接作为商的一个因式． 类型二、分式的基本性质➽➼分式变形是否正确✭✭判断分式值变化 3．若，则下列分式化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据a≠b，可以判断各个选项中的式子是否正确，从而可以解答本题． 解：∵a≠b， ∴，选项A错误； ，选项B错误； ，选项C错误； ，选项D正确； 故选：D． 【点拨】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法． 举一反三： 【变式】若把，的值同时扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（    ） A． B． C．