导数题型归纳讲义-2023届高三数学二轮复习

（一）导数的概念 1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即 (1).根据导数的定义求函数在点处导数的方法： ①求函数的增量； ②求平均变化率； ③得导数，简记作：一差、二比、三极限. (2).函数y＝f (x)的导数f ′(x)反映了函数f (x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x)|反映了变化的快慢，|f ′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． （二）导数的几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． （三）特别提醒 （1）曲线y＝f (x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，斜率为f ′(x0)的切线，是唯一的一条切线． （2）曲线y＝f (x)过点P(x0，y0)的切线，点P不一定是切点，切线可能有多条． （四）常用结论 奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 例1. 2020年5月1日，北京市开始全面实施垃圾分类，家庭厨余垃圾的分出量不断增加．已知甲、乙两个小区在[0，t]这段时间内的家庭厨余垃圾的分出量Q与时间t的关系如图所示．给出下列四个结论： ①在[t1，t2]这段时间内，甲小区的平均分出量比乙小区的平均分出量大； ②在[t2，t3]这段时间内，乙小区的平均分出量比甲小区的平均分出量大； ③在t2时刻，甲小区的分出量比乙小区的分出量增长的慢； ④甲小区在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[t2，t3]的平均分出量最大． 其中所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 一、导数的几何意义 题型一： 导数的几何意义--求曲线的切线方程 例．曲线过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________． 练习1.已知为偶函数，当 时，，则曲线在点处的切线方程是_________. 【总结提升】 导数运算及切线的理解应注意的问题： 一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆． 二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点． 切线的本质是割线的极限 曲线切线方程的求法： (1)以曲线上的点(x0，f(x0))为切点的切线方程的求解步骤： ①求出函数f(x)的导数f′(x)； ②求切线的斜率f′(x0)； ③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简． (2)如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组得切点(x0，y0)，进而确定切线方程． 题型二：导数的几何意义--求参数的值(范围) 根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点P(x0，y0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解． 例.（2022·全国·高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________． 练习（2021·全国高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ） A． B． C． D． 题型三：两曲线的公切线问题 例.若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（       ） A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+ 练习.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则_______． 【总结提升】 解决此类问题通常有两种方法 一是利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解； 二是设公切线l在y＝f (x)上的切点P1(x1，f (x1))，在y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2))，则f ′(x1)＝g′(x2)＝. 题型四：导数几何意义相关的应用问题 例．（2021·全国·高考真题）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是_______． 练习.在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是_____. 【规律方法】 求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点 (1)注意曲线上横坐标的取值范围． (2)谨记切点既在切线上又在曲线上． 考点一 求曲线的切线方程 例1．已知函数，. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)设函数在上的最大值和最小值分别为和，若，求的取值范围. 练习．已知函数 (1)过原点作的切线，求的方程； (2)令，求在恒成立，求的取值范围 考点二