第五章 一元函数的导数及其应用 单元检测-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及其应用单元检测 一、单选题 1．已知函数，则该函数在区间上的平均变化率为（    ） A． B． C． D． 2．设在处可导，则（    ） A． B． C． D． 3．若直线是曲线在某点处的切线，则实数（    ）． A． B．1 C．2 D．3 4．已知函数.曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 6．若直线与曲线相切，则（    ） A．为定值 B．为定值 C．为定值 D．为定值 7．设，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，若函数在区间上有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．某物体的运动方程为（位移单位：m，时间单位：s），若，则下列说法中错误的是（    ） A．18m/s是物体从开始到3s这段时间内的平均速度 B．18m/s是物体在3s这一时刻的瞬时速度 C．18m/s是物体从3s到s这段时间内某一时刻的速度 D．18m/s是物体从3s到s这段时间内的平均速度 10．下列选项正确的是（    ） A．，则 B．，则 C．，则 D．，则 11．已知函数及其导函数的定义域均为，记，若关于直线对称，为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 12．函数的图象如图所示，设是函数的导函数，则下列结论正确的是（   ） A．的解集是 B． C．时，取得最大值 D．的解集是 三、填空题 13．设函数可导且在处的导数值为1，则__________． 14．若曲线在点处的切线方程是，则______． 15．已知，函数在其定义域上单调递减，则实数__________. 16．给出如下关于函数的结论： ①；②对，都，使得； ③，使得；④对，都有 其中正确的有___________.（填上所有你认为正确结论的序号） 四、解答题 17．（1）求曲线，在点处的切线方程； （2）求过点的抛物线的切线方程． 18．求下列函数的导数. (1)； (2). 19．已知抛物线，其中，直线 l 为抛物线在点处的切线． (1)求切线 l 的方程； (2)求证：抛物线上除切点外，其余各点都在该切线 l 的上方． 20．已知函数． (1)当时，求函数的单调增区间． (2)讨论函数的单调性． 21．已知函数，（，为自然对数的底数）. (1)求函数的极值； (2)若对，恒成立，求的取值范围. 22．已知函数． (1)当时，求证：； (2)设，若对任意的，总存在，使不等式成立，求实数k的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 答案 1．A 2．A 3．C 4．C 5．B 6．D 7．C 8．D 9．ACD 10．BCD 11．ABC 12．BC 13． 14． 15．2 16．①③④ 17.（1），可知所求切线的斜率 故所求切线的方程为，即． （2）设切点坐标为，，可知所求切线的斜率 ∵切线过点和点，∴， 解得或，∴切线的斜率为2或6 故所求切线的方程为或， 即或． 18．（1） （2） 19．（1）由已知得，则， 于是所求切线的斜率为， 所以切线 l 的方程为，即； （2）将切线l的方程化为， 当时，恒成立， 因此抛物线上除切点外，其余各点都在该切线l的上方． 20．（1）函数的定义域为， 当时，， 所以. 故当时， ，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增； 所以函数的单调递增区间有和； （2）由可得：. ①当时， ，在上单调递增； ②当时，时，时，在上单调递增； 时，时，在上单调递减； 时， ，在上单调递增；. ③当时，，且仅在时，， 所以函数在上单调递增； ④当时，时，时，在上单调递增； 时，时，在上单调递减； 时， ，在上单调递增；. 综上所述，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减； 21．（1）定义域为，， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， 的极大值为，无极小值. （2）由得：，在上恒成立； 令，则； 令，则， 在上单调递增，又，， ，使得，则， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增，； 由得：，， ，， 则实数的取值范围为. 22．（1）要证，只需证， 令，， 由，，，， 在区间上单调递减，在区间上单调递增， ∴，即，∴． （2）由题意得，， ∵，显然，， ∴在区间上为增函数， ∴时，， ∴， 设，有在时恒成立， ∵， ①时，∵，显然，∴在时单调递减，此时不符合； ②时，∵，显然，∴在时单调递减，此时不符合； ③时，∵， 若，显然，则在区间上单调递减，此时不符合； 若，显然当时，，则在区间上单调递减，