4.5.3 函数模型的应用——方程的根与函数的零点 教学设计-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

函数模型的应用——方程的根与函数的零点 教学设计 一．教学目标 1.根据二次函数零点的定义抽象出一般函数零点的定义．在此过程中培养学生的数学抽象核心素养； 2.通过对一元二次方程的根与相应的二次函数的零点以及二次函数的图像与x轴的交点的横坐标之间的关系的认识，推断出一般的方程的根与相应的函数图像与x轴交点横坐标、函数零点的等价关系．在此过程中培养学生的逻辑推理能力以及对数形结合思想的应用； 3.通过分析具体二次函数零点附近的图像和函数值的特征，再结合更多函数图像，通过观察、对比、分析、总结归纳出函数零点存在的条件，得出函数零点存在定理。在此过程中培养学生直观想象，数学运算，数学建模等核心素养． 二．教学重难点：函数零点的概念、函数零点与方程的解的关系，以及函数零点存在定理． 三．教学过程： 函数零点存在定理：如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么，函数在区内一定有零点，即存在，使得，这个c也就是方程的解． 根据前面的探究以及定理的内容请同学们思考以下问题： 问题1. f(a)·f(b)<0则函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点。 问题2. 函数y=f(x)在区间(a,b)内零点，则f(a)·f(b)<0。 问题3. f(a)·f(b)<0，则函数y=f(x)在区间(a,b)内只有一个零点。 函数零点存在定理的三个注意点： 1 .函数是连续的。 2 .定理不可逆。 3 .至少存在一个零点。 思考： 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么函数在区间上至少有一个零点，再加上什么条件就能保证函数在区间上有且只有一个零点？ 再加上条件：在区间上单调，则函数在区间上有且只有一个零点． 例1.求方程的实数解的个数． 解：根据方程的跟与函数零点的关系，我们将方程的解的问题转化为函数的零点问题： 学生回答 解法一：根据表1结合函数的单调性，画出函数的图像如图2所示，由图可知函数有且只有一个零点，即方程只有一个实数解． 表1 x y 1 -4 2 -1．306 9 3 1．098 6 4 3．386 3 5 5．609 4 6 7．791 8 7 9．945 9 8 12．079 4 9 14．197 2 设函数 解法二：因为，，即，且函数图象在定义越(0，+∞)上连续．由函数零点存在定理可知，函数在区间(2，3)内至少有一个零点． 另外，对于函数，x∈(0，+∞)，可以先将其转化为两个基本函数与，由于它们在(0，+∞)内都单调递增，所以函数在(0，+∞)内是增函数． 两方面结合，可以判定它只有一个零点，即相应方程只有一个实数解． 解法三： 由函数和函数的图像可知，这两个函数的图像有且仅有一个交点，即方程只有一个实数解． 练习 四．课堂小结 方程的根（方程有实数解） 函数的零点 函数的图像与轴交点的横坐标 函数零点存在定理 学科网（北京）股份有限公司 $