5.3.2 函数的极值与最大（最小）值（第3课时）教学设计-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及其应用 《5.3.2 函数的极值与最大(小)值》教学设计 第3课时 ( 教学目标 ) 1.了解函数极值的概念,会从函数图象直观认识函数极值与导数的关系. 2.初步掌握求函数极值的方法. 3.体会渗透在数学中的整体与局部的辩证关系. ( 教学重难点 ) 教学重点:求函数极值 教学难点:函数极值与导数的关系 ( 课前准备 ) PPT课件. ( 教学过程 ) 【新课导入】 问题1:阅读课本第89~92页,回答下列问题: (1)本节将要探究哪类问题? (2)本节探究的起点是什么?目标是什么? 师生活动:学生带着问题阅读课本,并在本节课中回答相应问题. 预设的答案:(1)本节课主要学习函数的极值;(2)学生已经具有导数概念、导数几何意义、导数计算、函数的单调性等相关的数学概念知识,对函数的单调性有一定的认识,对相应导数的内容也具有一定的储备.函数的极值与最值是函数的一个重要性质.在学习运用导数判断函数单调性的基础上,研究和学习函数的极值与最值是导数的一个重要应用,注意培养学生数形结合思想、特殊到一般的研究方法,发展学生直观想象、数学抽象、逻辑推理和数学运算核心素养. 设计意图:通过阅读读本,让学生明晰本阶段的学习目标,初步搭建学习内容的框架. 问题2: 在用导数研究函数的单调性时,我们发现利用导数的正负可以判断函的增减.如果函数在某些点的导数为0,那么在这些点处函数有什么性质呢? 设计意图:通过该问题,引起学生思考,顺利地进入本节课的学习.进一步培养学生学会分析和思考的能力. 【探究新知】 知识点1: 函数的极值 问题3:观察图(1),当时,高台跳水运动员距水面的高度最大.那么,函数在此点的导数是多少呢?此点附近的图象有什么特点?相应地,导数的正负性有什么变化规律? 图(1) 图(2) 师生活动:学生思考后回答,教师完善. 预设的答案:放大附近函数的图象,如图(2).可以看出,;在的附近,当时,函数单调递增,;当时,函数单调递减,.这就是说,在附近,函数值先增(当时,)后减(当时,).这样,当t在a的附近从小到大经过a时,先正后负,且连续变化,于是有. 设计意图:通过熟悉的例子及图象,逐步引导学生思考导数值为0的点附近函数图象的特点以及导数正负性的变化规律.发展学生的数学抽象、直观想象和数学建模等核心素养. 思考:对于一般的函数,是否也有同样的性质呢? 问题4: 如图,函数在等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系?在这些点的导数值是多少?在这些点附近,的导数的正负性有什么规律? 师生活动:学生认真观察图形后回答,教师完善. 预设的答案:以两点为例,可以发现,函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小,;而且在点附近的左侧,右侧.类似地,函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大,;而且在点附近的左侧,右侧. 教师总结:我们把a叫做函数的极小值点,叫做函数的极小值;b叫做函数的极大值点,叫做函数的极大值.极小值点、极大值点统称为极值点,极小值和极大值统称为极值. 设计意图:通过特例,体会导数与函数极值之间的关系,发展学生直观想象、数学抽象、数学运算和数学建模的核心素养. 结论:(1)极小值点与极小值 若函数y=f (x)在点x=a的函数值f (a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f ′(a)=0,而且在点x=a附近的左侧 f ′(x)<0,右侧f ′(x)>0,就把点a叫做函数y=f (x)的极小值点,f (a)叫做函数y=f (x)的极小值. (2)极大值点与极大值 若函数y=f (x)在点x=b的函数值f (b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,f ′(b)=0,而且在点x=b附近的左侧f ′(x)>0,右侧f ′(x)<0,就把点b叫做函数y=f (x)的极大值点,f (b)叫做函数y=f (x)的极大值. (3)极大值点、极小值点统称为极值点;极大值、极小值统称为极值. 极值反映了函数在某一点附近的大小情况,刻画了函数的局部性质. 【练一练】函数f (x)的定义域为R,导函数f ′(x)的图象如图所示,则函数f (x)( ) A.无极大值点,有四个极小值点 B.有三个极大值点,两个极小值点 C.有两个极大值点,两个极小值点 D.有四个极大值点,无极小值点 师生活动:学生讨论后回答,教师完善. 预设的答案:设y=f ′(x)的图象与x轴的交点从左到右横坐标依次为x1,x2,x3,x4,则f (x)在x=x1,x=x3处取得极大值,在x=x2,x=x4处取得极小值.即答案为B. 问题5:导数值为0的点一定是函数的极值点吗? 师生活动:学生分组讨论,每组派一代表发言,教师完善. 预设的答案:导数值为0的点不一定是函数的极值点.例如,对于函数,我们有.虽然,但由于无论,还是,恒有,即函数是增