3.1.1椭圆及其标准方程（一）课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

椭圆 环节一 椭圆及其标准方程 高中数学人教A版选择性必修第一册单元教学设计 引入新课 数学史-几何学 研究对象：平面图形 、空间图形 研究方法： 1、建立了公理化体系——推理论证——古典欧式几何（大约两千年） 2、建立坐标——以方程为载体——解析几何——代数几何、微分几何（17世纪） 3、向量——向量几何——代数（用向量再次表示、再次证明几何图形） 4、变换公理体系——变换几何-非欧几何（19世纪-至今） 研究内容：位置关系、度量问题(形状、大小） 2 引入新课 数学史-解析几何 解析几何诞生(17世纪) 费马、笛卡尔 非欧几何发展(18世纪）拉格朗日。贝努利家族 古希腊坐标几何萌芽 米奈克穆斯-数值比例问题 一百年以后，阿波罗尼乌斯 -圆锥剖面 微分几何的发展(17世纪/18世纪) 牛顿 、莱布尼兹、雅各布贝努利 3 引入新课 阿波罗尼乌斯探索圆锥剖面，他感兴趣的是轨迹问题：哪些点满足给定的条件，他们是否形成某些线或曲线？比如，与给定点距离固定的点的轨迹是一个圆，到给定点距离等于给定直线的垂直距离的点的轨迹是抛物线。 14世纪，尼克尔奥雷斯梅描述了一种如何画出自变量和因变量之间关系的方法，但当时代数系统还不存在。 16世纪末，弗兰科伊斯.威特试图通过用字母来表示数量，用方程式来表示关系，从而提炼出古希腊人几何分析的本质，在这样做的过程中，他朝着把代数的力量用于几何问题上迈出了一大步。 笛卡尔《几何学》 费马研究从方程到曲线 数学史-解析 几何 01 02 03 04 4 引入新课 单元内容  坐标化 范围 椭圆的几何要素： 两个定点、距离 之和为定长   椭圆的标准方程 椭圆的几何性质 离心率 对称性 顶点  方程的性质 代数 几何 5 引入新课 单元学习方法 几何 代数 椭圆 二元二次方程 椭圆的几何性质 方程的性质 6 探究新知 问题1 我们已经知道，取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆。如果把绳子的两端拉开一段距离，分别固定在图板的，（图3.1-1）套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？ 7 探究新知 问题1 答案： 我们把平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距. 由椭圆的定义可知，上述移动的笔尖（动点）画出的轨迹是椭圆. 8 探究新知 问题2 在上述过程中，移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？ 9 探究新知 问题2 在上述过程中，移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？ 答案：把细绳的两端拉开一段距离，笔尖移动的过程中，细绳的长度保持不变，即笔尖到两个定点的距离之和等于常数. 10 探究新知 问题3 如何利用椭圆上的这一动点的几何条件建立椭圆的方程？ 11 探究新知 问题3 如何利用椭圆上的这一动点的几何条件建立椭圆的方程？ 追问1：前面我们知道，一个点在圆上的充要条件是这个点到圆心的距离等于半径，而点到圆心的距离由两点间距离公式将几何条件转化为坐标语言；那么如何把椭圆上的点到两个定点距离之和为常数这一几何条件进行转化呢？ 12 探究新知 问题3 如何利用椭圆上的这一动点的几何条件建立椭圆的方程？ 追问1：前面我们知道，一个点在圆上的充要条件是这个点到圆心的距离等于半径，而点到圆心的距离由两点间距离公式将几何条件转化为坐标语言；那么如何把椭圆上的点到两个定点距离之和为常数这一几何条件进行转化呢？ 追问2：怎样建立坐标系可能使得所得的椭圆方程简单？ 13 探究新知 问题3 答案：观察我们画出的图形，可以发现椭圆具有对称性，而且过两个焦点的直线是它的对称轴，所以我们把经过椭圆的两焦点的直线为轴，垂直平分线线段为轴，建立平面直角坐标系，如图3.1-2所示。 14 探究新知 问题3 设是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为那么焦点坐标分别为，根据椭圆的定义，设点与焦点的距离之和为。 由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集 因为, 所以 ① 15 知识应用 问题4： 类比圆的标准方程，如何化简这个方程呢？ 16 知识应用 问题4： 追问：为了使得运算中平方的次数尽量少，该如何平方？ 类比圆的标准方程，如何化简这个方程呢？ 17 知识应用 问题4： 答案：我们将其左边的一个根式移到右边，得 ② 对方程②两边平方，得 18 探究新知 问题4 整理，得 ③ 对方程③两边平方，得 将方程④两边同除以，得 ⑤ 整理，得 ④ 19 探究新知 问题4 整理，得 ③ 对方程③两边平方，得 将方程④两边同除以，得 ⑤ 整理，得 ④ 由椭圆得定义可知，2