2023年中考九年级数学分类讲解 - 第十讲 相似形（含位似）

第10讲 相似形 专项一　比例线段 知识清单 1．比例线段：四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即__________，那么这四条线段a，b，c，d 叫做成比例线段，简称比例线段． 2．比例的性质 基本性质：ad=bc．（abcd≠0） 合比性质：． 等比性质：如果（b+d+…+n≠0），那么． 3．黄金分割：如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），如果__________，那么就说线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫黄金比，且≈0.618． 4．平行线分线段成比例 基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段_________． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． 考点例析 例1 已知＝＝≠0，则＝______． 分析：设＝＝＝k，则可用k分别表示出x，y，z，然后代入化简即可． 例2 如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，AC＝10，则AE的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 分析：根据平行线分线段成比例的推论得到比例式＝，结合AB=AD+BD可求出AE的长． 跟踪训练 1.如图，直线l1∥l2∥l3，直线a，b与l1，l2，l3分别交于点A，B，C和点D，E，F．若AB∶BC＝2∶3，EF＝9，则DE的长是（ ） A．4 B．6 C．7 D．12 ( 第1题图 D C E F B A a b l 1 l 2 l 3 ) 2.若＝＝（a≠c），则＝______． 3.我们把宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形ABCD是黄金矩形，边AB的长度为-1，则该矩形的周长为______．  4．如图，BE是△ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D． 若BF＝3FE，则＝______． ( D C E F B A 第4题图 ) 专项二　相似三角形的判定与性质 知识清单 1. 相似三角形的判定方法及常见模型 类 型 判定方法 模 型 一般 三角形 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似 DE∥BC△ABC∽△ADE 两角分别相等的两个三角形相似 ( ∠1=∠2 = ∠ 3 ∠ ABC= ∠ D △A BC ∽△ EDB )∠1=∠2△ADE∽△ABC 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 △ABD∽△ACE 三边成比例的两个三角形相似 直角 三角形 一组锐角相等的两个直角三角形相似 △ADE∽△ABC △ABC∽△DEC 两组直角边成比例的两个直角三角形相似 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似 2. 相似三角形的性质 （1）相似三角形的______相等，对应边______． （2）相似三角形的对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于__________． （3）相似三角形的周长比等于__________，面积比等于__________． 考点例析 例1如图1，在△ABC中，D为BC上一点，BC＝AB＝3BD，则AD∶AC的值为______． ( D C B A 图1 ) 分析：由条件BC＝AB＝3BD可推出=，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似得到△ABC∽△DBA，然后根据相似三角形的对应边成比例求解． 归纳：证明三角形相似的思路 已知一对等角 （1）找另一对等角 （2）找该角的两边成比例 已知两边成比例 （1）找夹角相等 （2）找第三边也成比例 （3）找这两个三角形是直角三角形 已知是直角三角形 （1）找一对锐角相等 （2）找斜边和一对直角边成比例 （3）找两直角边成比例 例2　如图2，在Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D，E分别在边AB，AC上，连接DE，将△ADE沿DE翻折，使点A的对应点F落在BC的延长线上．若FD平分∠EFB，则AD的长为（ ） A． B． C． D． ( D C E F B A 图2 ) 分析：由题意知∠BFD＝∠DFE＝∠A，又∠B＝∠B，根据两角分别相等的两个三角形相似得到△BDF∽△BCA，然后根据相似三角形的对应边成比例列方程求解． 例3　如图3，已知每个小方格的边长均为1，则△ABC与△CDE的周长比为_